[概率dp] Jzoj P2059 卡牌游戏

Posted 2021-02-06 comfortable

题目描述

N个人坐成一圈玩游戏。一开始我们把所有玩家按顺时针从1到N编号。首先第一回合是玩家1作为庄家。每个回合庄家都会随机（即按相等的概率）从卡牌堆里选择一张卡片，假设卡片上的数字为X，则庄家首先把卡片上的数字向所有玩家展示，然后按顺时针从庄家位置数第X个人将被处决即退出游戏。然后卡片将会被放回卡牌堆里并重新洗牌。被处决的人按顺时针的下一个人将会作为下一轮的庄家。那么经过N-1轮后最后只会剩下一个人，即为本次游戏的胜者。现在你预先知道了总共有M张卡片，也知道每张卡片上的数字。现在你需要确定每个玩家胜出的概率。

这里有一个简单的例子：

例如一共有4个玩家，有四张卡片分别写着3,4,5,6.

第一回合，庄家是玩家1，假设他选择了一张写着数字5的卡片。那么按顺时针数1,2,3,4,1，最后玩家1被踢出游戏。

第二回合，庄家就是玩家1的下一个人，即玩家2.假设玩家2这次选择了一张数字6，那么2,3,4,2,3,4，玩家4被踢出游戏。

第三回合，玩家2再一次成为庄家。如果这一次玩家2再次选了6，则玩家3被踢出游戏，最后的胜者就是玩家2.

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包括两个整数N,M分别表示玩家个数和卡牌总数。

接下来一行是包含M个整数，分别给出每张卡片上写的数字。

 

输出格式：

 

输出一行包含N个百分比形式给出的实数，四舍五入到两位小数。分别给出从玩家1到玩家N的胜出概率，每个概率之间用空格隔开，最后不要有空格。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

5 5
2 3 5 7 11

输出样例#1：

22.72% 17.12% 15.36% 25.44% 19.36%

输入样例#2： 

4 4
3 4 5 6

输出样例#2： 

25.00% 25.00% 25.00% 25.00%

说明

对于30%的数据，有1<=N<=10

对于50%的数据，有1<=N<=30

对于100%的数据，有1<=N<=50 1<=M<=50 1<=每张卡片上的数字<=50

 

题解

• 首先，我们可以设f[i][j]为当前还剩i个人，从庄家开始数第j个人获胜的概率
• 然后我们可以发现f[1][1]=1.0
• 考虑一下如何转移，我们可以枚举庄家该轮抽到的牌k，可以得到当前轮被淘汰的人p（a[k]%i）
• 那么就有三种情况，
• ①p=j，当前淘汰的人就是j，那么就可以不用转移
• ②p>j，那么下一轮的庄家就是剩下的i-1里个人的第p个人的下一个，也就是从1开始数起的第i-p+j，转移f[i][j]+=f[i-1][j-p+j]/m
• ③p<j，那么下一轮的庄家就是从1开始数起的第j-p个，转移f[i][j]+=f[i-1][j-p]/m

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #define N 60
 4 using namespace std;
 5 int n,m,a[N];
 6 double f[N][N];
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%d%d",&n,&m);
10     for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
11     f[1][1]=1;
12     for (int i=2;i<=n;i++)
13         for (int j=1;j<=i;j++)
14             for (int k=1;k<=m;k++)
15             {
16                 int p=(a[k]%i!=0)?a[k]%i:i;
17                 if (p>j) f[i][j]+=f[i-1][i-p+j]/m;
18                 if (p<j) f[i][j]+=f[i-1][j-p]/m;
19             }
20     for (int i=1;i<=n;i++) printf("%.2lf%% ",f[n][i]*100.0);
21 }