全微分方程与积分因子

Posted 2021-02-05 keyon-16

${全微分方程}$

定义:如果方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

的左端恰好是某个二元函数$u(x,y)$的全微分，即

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy≡du(x,y)$$

则方程为全微分方程，$u(x,y)$称为方程的一个原函数

定理:方程是全微分方程的充要条件是:设函数$M(x,y)，N(x,y)$在$xoy$平面上的单连通域D内连续可微，那么在D内恒成立

$$frac{?(M(x,y)}{?y}=frac{N(x,y)}{?x}$$成立

则函数$$u(x,y)=int_{x_{0}}^{x}M(x,y_{0})dx+int_{y_{0}}^{y}N(x,y)dy$$

或$$u(x，y)=int_{x_{0}}^{x}M(x,y)dx+int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},y)dy$$

是方程原函数，其中$(x_{0},y_{0})∈D$

全微分方程求解方法

$①$线积分法 如上述定理

$$u(x,y)=c$$

②不定积分法

$$du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$$

由此得到:$$frac{?u}{?x}=M(x,y)，frac{?u}{?y}=N(x,y)$$

所以$$u(x,y)=int M(x,y)dx+φ(y)$$

另一方面

$$frac{?u(x,y)}{?y}=frac{?}{?y} int M(x,y)dx+φ^{‘}(y)=N(x,y)$$

由此确定$φ^{‘}(y)$，积分求得$φ(y)$把$φ(y)$代入

$$u(x,y)=int M(x,y)dx+φ(y)$$

即得$u(x,y)$

所以通解为$$u(x,y)=c$$

③观察法

常用的全微分方程表达式

$$xdx+ydy=d(frac{x^{2}+y^{2}}{2} )$$ $$frac{xdx+ydy}{x^{2}+y^{2}}=frac{1}{2}dln(x^{2}+y^{2})$$ $$frac{xdy-ydx}{x^{2}}=d(frac{y}{x})$$ $$frac{xdy+ydx}{xy}=d{ln(xy)}$$ $$frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}=d(arctanfrac{y}{x})$$ $$frac{xdy-ydx}{x^{2}-y^{2}}=frac{1}{2}dlnfrac{x+y}{x-y}$$

${积分因子}$

定义:若存在可微函数$μ=μ(x,y)$使 $$μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0$$

是全微分方程，则称$μ(x,y)$为方程的积分因子

定理1:$μ(x,y)$是方程积分因子的充要条件是$$frac{?(μM)}{?y}=frac{?(μM)}{?x}$$

定理2:若$μ(x,y)$是方程的一个积分因子，且$μMdx+μNdy=dU$则$μφ(U)$也是方程的积分因子，其中$φ(U)$是U的任一连续函数

积分因子求法

①观察法

常用积分因子

$$-frac{1}{x^{2}},frac{1}{y^{2}}，frac{1}{xy},frac{1}{x^{2}+y^{2}},frac{1}{x^{2}-y^{2}}$$

②公式法

若方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$中的$M(x,y),N(x,y)$满足

Ⅰ、$$frac{1}{N}(frac{?M}{?y}-frac{?N}{?x})=φ(x)$$ (仅是x的函数)

则它有积分因子$μ(x)=e^{int φ(x)dx}$

Ⅱ、$$-frac{1}{M}(frac{?M}{?y}-frac{?N}{?x})=φ(y)$$ (仅是y的函数)

则它有积分因子$μ(y)=e^{int φ(y)dy}$

Ⅲ、分组求积分因子法

$$(M_{1}dx+N_{1}dy)+(M_{2}dx+N{2}dy)=0$$

分别求得各组的积分因子$μ_{1}$和$μ_{2}$

于是就可找到$u_{1}，u_{2}$使

$$μ_{1}M_{1}dx+μ_{1}N_{1}dy=du_{1}$$

$$μ_{2}M_{2}dx+μ_{2}N_{2}dy=du_{2}$$

选适当函数$Φ_{1}(u_{1}),Φ_{2}(u_{2})$使$$μ_{1}Φ_{1}(u_{1})=μ_{2}Φ_{2}(u_{2})$$

可求得方程积分因子为$μ_{1}Φ_{1}(u_{1})$