STL next_permutation 算法原理和自行实现

Posted 2021-02-05 dwvictor

目标

STL中的next_permutation 函数和 prev_permutation 两个函数提供了对于一个特定排列P，求出其后一个排列P+1和前一个排列P-1的功能。

这里我们以next_permutation 为例分析STL中实现的原理，prev_permutation 的原理与之类似，我们在最后给出它们实现上差异的比较

 

问题：

给定一个排列P，求出其后一个排列P+1是什么。

思路

 

按照字典序的定义不难推出，正序，是一组排列中最小的排列，而逆序，则是一组排列中最大的排列。

从字典序的定义出发，我们可以看到，n个元素的排列全排列中，从给定排列P 求解下一排列P+1 ，假设两个排列有前k位是相同的(0<=k<=n)，那么我们只需要在后面n-k个元素的排列 P(n-k)中求得下一个排列即可。

既然我们关心的是后面 n-k位的排列，那么不妨开开脑洞，从后向前考察排列。

 

首先我们举一个比较极端的例子：排列 1 2 3 4 5

很显然，这是一个正序排列（递增序列），因此这是这几个数字所组成的排列中最小的排列，记为P1.

现在我们要求出P2，P2是 1 2 3 5 4. 我们可以看到，P2的前三位和P1的前三位的排列完全相同，唯一的变化是最后两位颠倒顺序，这一顺序的颠倒有何玄机呢？——使得最后两位从正序的 4 5 变成了逆序的 5 4.

接着求P3.P3是 1 2 4 3 5. 我们看到，最后两位已经是逆序，不可能有字典序更大的排列，因此必须考虑更多的位，在后3个元素中，3 5 4 显然不是逆序，因此一定存在字典序更大的排列方式，我们由此确定了n-k==3

 

我们现在要在 3 5 4 中求得下一个排列，3 5 4 不是一个逆序，是因为 3 后面有元素大于3 。我们要在大于3的数字中选择最小的那个，和3交换，因为这样可以保证得到最小的首位元素。对于这个例子，我们选择将3和4进行交换，而不是3 和 5，这样得到的首位元素是4. 现在我们得到了排列 4 5 3 。

显然，4 5 3 并不是我们想要的下一个排列，下一个排列是 4 3 5. 观察区别，不难看出，首位元素一定是4，但是5 3 这个子排列是一个逆序排列。

为什么会是逆序排列？

因为我们寻找的时候就以是不是逆序为分割点，3 恰好是第一个非逆序的元素，而4作为与3 交换的元素，又比3要大，因此交换后得到的 5 3 一定是逆序的排列。

逆序排列没有下一排列，但是将逆序排列反向后，我们就得到了对应的正序排列，而正序排列是当前元素所能形成的最小排列，因此，4 3 5 是4 为首位元素所能形成最小排列，而前3 位没有变化，故我们得到了下一排列P3.

另外，大于3的最小元素，即4 ，也是第一个大于3的元素，因为 5 4 是个逆序排列。

 

更一般地，例如对于可重集排列 1 2 3 7 6 5 2 1 

我们首先寻找第一个非逆序元素，这里是3，然后从后向前寻找第一个大于3的元素，这里是5，交换，得到 5 7 6 3 2 1 的子排列，然后反向，即可得到下一排列。如果没有找到第一个非逆序元素，那么说明该排列已经是最大排列。

 

代码实现：

以字符串为例，实现next_permutation，这里的空的for语句主要是为了压行

 1 /*
 2 *算法实现：STL中的next_permutation实现 
 3 */
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 
 7 void inline swap(char *s1,char *s2){
 8     char t=*s1;
 9     *s1=*s2;
10     *s2=t;
11 }
12 /**
13 *反转字符串函数,s,e分别执行字符串的开始和结尾，不能反转中文 
14 **/
15 void reverse(char *s,char* e){
16     for(e--;s<e;s++,e--)swap(s,e);
17 }
18 
19 bool next_permutation(char *start,char *end){
20     char *cur = end-1, *pre=cur-1;
21     while(cur>start && *pre>=*cur)cur--,pre--;
22     if(cur<=start)return false;
23     
24     for(cur=end-1;*cur<=*pre;cur--);//找到逆序中大于*pre的元素的最小元素 
25     swap(cur,pre);
26     reverse(pre+1,end);//将尾部的逆序变成正序 
27     return true;
28 }
29 
30 int main(){
31     char s1[]="01224",s2[]="8000";
32     reverse(s1,s1+strlen(s1));
33     printf("%s
",s1);
34     int n=strlen(s2);
35     puts("下一个排列：");
36     int cnt=0;
37     do{
38         puts(s2);
39         cnt++;
40     }while(next_permutation(s2,s2+n));
41     printf("%d",cnt);
42 }

 

将上述代码的next_permutation 中的所有有关pre和cur指针内容比较的部分的符号反转，就得到了prev_nextpermutation

代码如下：

 1 bool prev_permutation(char *start,char *end){
 2     char *cur = end-1, *pre=cur-1;
 3     while(cur>start && *pre<=*cur)cur--,pre--;//这里符号有变化 
 4     if(cur<=start)return false;
 5     
 6     for(cur=end-1;*cur>=*pre;cur--);//这里符号有变化 
 7     swap(cur,pre);
 8     reverse(pre+1,end);
 9     return true;
10 }