jzoj6002. PKUWC2019模拟2019.1.15Permutation （组合数）

Posted 2021-02-03 bztminamoto

题面

题解

设(lim=(n-1)/2)（这里是下取整），那么(x)位置的值最大不能超过(lim)，而(y)处的值不能小于(y)，于是有[Ans=sum_{i=1}^{lim}sum_{j=2 i+1}^n(y-2)!{j-2choose y-2}(n-y)!]
上式的意思是，枚举(x)处的值(i)和(y)处的值(j)，那么放在(y)前面的数都不能大于(j)，要从除了(i,j)之外的剩下(j-2)个数中选出(y-2)个，因为顺序无所谓要乘上((y-2)!)，这后面的数也随便放，所以再乘上一个((n-y)!)

((y-2)!)和((n-y)!)都是常数，提到前面来然后先考虑如何快速计算(sum_{j=2i+1}^n{j-2choose y-2})，可以拆成两个前缀和相减的形式，为({n-1choose y-1}-{2i-1choose y-1})，这样我们就可以做到单次询问(O(n))的复杂度了

考虑继续化简，我们要快速计算[sum_{i=1}^{lim}({n-1choose y-1}-{2i-1choose y-1})]
前面是个定值，提出来，于是现在需要快速计算(sum_{i=1}^{lim}{2i-1choose y-1})

这样看不太清楚，我们把它展开来[A_{y-1}={1choose y-1}+{3choose y-1}+...+{2lim-1choose y-1}]
然后考虑另外一个式子[B_{y-1}={2choose y-1}+{4choose y-1}+...+{2limchoose y-1}]
有[A_{y-1}+B_{y-1}={2lim+1choose y}]

然后惊奇的发现，(A)和(B)之间也有联系[A_{y-1}+A_{y-2}=B_{y-1}]
所有[A_{y-1}=frac{{2lim+1choose y}-A_{y-2}}{2}]
边界条件为(A_0=lim)

于是(A)就可以(O(n))递推了

然后我们就算完了，时间复杂度为(O(n+q))

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}
void print(R int x){
    if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]='
';
}
const int N=1e6+5,P=998244353,inv2=499122177;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
int fac[N],inv[N],A[N];
int n,res,q,x,y,m;
inline int C(R int n,R int m){return m>n?0:1ll*fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
    n=read(),q=read();
    inv[0]=fac[0]=1;fp(i,1,n)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    inv[n]=ksm(fac[n],P-2);fd(i,n-1,1)inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    m=(n-1)/2;A[0]=m;fp(i,1,n)A[i]=mul(dec(C(2*m+1,i+1),A[i-1]),inv2);
    while(q--){
        x=read(),y=read(),res=0;
//      fp(j,1,(n-1)/2)res=add(res,dec(C(n-1,y-1),C(2*j-1,y-1)));
        res=mul(m,C(n-1,y-1)),res=dec(res,A[y-1]);
        res=mul(res,fac[y-2]),res=mul(res,fac[n-y]);
        print(res);
    }
    return Ot(),0;
}