线性基

Posted 2021-02-03 creed-qwq

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基本思想是：从左往右扫描每个向量,对于第i个向量的第j位,如果前面已经有第j位为1的向量,那么把第i个向量异或那个向量。

这样最后得到的向量组，不考虑0向量, 最高位的1的位置 是互不相同的。 显然这些向量线性无关。

于是这样构造出的极大线性无关组,也就是线性基,具有以下性质：

性质一：最高位1的位置互不相同。 这是根据上面的构造方法得出的。

性质二：任意一个可以用这些向量组合出的向量x,组合方式唯一。

证明： 假设x的组合方法不唯一, 也就是说 x=a1 xor a2 ? ap = b1 xor b2 ? bq

那么x xor x = 0 = a1 xor a2 ? ap xor b1 xor b2 ? bq

也就是说 可以用这个向量组里的向量组合出0向量, 与线性无关矛盾。 故组合方法唯一。

性质三：线性基的任意一个子集异或和不为0. 利用性质一 脑补一下就出来了。