二叉查找树(BST树)

Posted 2021-02-02 kachunyippp

二叉查找树的特点：

在二叉查找树中左子树上所有结点的数据都小于等于根结点的数据,而右子树上所有结点的数据都大于根结点的数据

 1 //存储结构：
 2 struct node
 3 {
 4     Int data;
 5     node *lchild;
 6     node *rchild;
 7 };
 8 
 9 //在建树前根节点不存在:
10 Node *root = NULL;
11 
12 //新建结点:
13 node *newNode(int v)
14 {
15     node *Node = new node;
16     Node->data = v;
17     Node->lchild = NULL;
18     Node->rchild = NULL;
19     return Node;
20 }
21 
22 //二叉查找树结点的查找、修改:
23 //时间复杂度:O(h) h是二叉查找树的高度
24 void search(node *root,int x,int newdata) // 在这里修改的是root指针指向的内容,所以不需要加引用&
25 {
26     if(root == NULL)
27         return;
28     if(root->data == x)
29         root->data = newdata;
30     if(root->data <= x) search(root->lchild,x,newdata);
31     else if(root->data > x)
32         search(root->rchild,x,newdata);
33 }
34 //二叉查找树的插入:
35 //时间复杂度:O(h) h是二叉查找树的高度
36 void insert(node *&root,int x) // 这里要加引用,是因为修改的是root指针本身 
37 {
38     if(root == NULL)
39     {
40         root = newNode(x);
41         return root;
42     }
43     if(x<=root->data)   // 生成二叉查找树 
44         insert(root->lchild,x);
45     else
46         insert(root->rchild,x);
47 }
48 
49 //二叉查找树的创建:
50 node *create(int data[],int n)   
51 {
52     node *root = NULL;
53     for(int i=0;i<n;++i)
54         insert(root,data[i]);
55     return root;    
56 }

 

二叉查找树的删除
一般有两种常见做法,时间复杂度都是$O(h)$,h是二叉查找树的高度。为了保证删除之后仍然是二叉查找树。
一种方法是以树中比删去数小而又最大的结点(称为该结点的前驱)覆盖删去数，再删去该结点。
另一种则是以树中比删去数大而又最小的结点(称为该结点的后继)覆盖删去数，再删去该结点。

 1 node *findMax(node *root)
 2 {
 3     while(root->rchild != NULL)
 4         root = root->rchild;
 5     return root;
 6 }
 7 
 8 node *findMin(node *root)
 9 {
10     while(root->lchild != NULL)
11         root = root->lchild;
12     return root;
13 }
14 
15 void deleteNode(node *&root,int x) // 加引用是因为要修改指针本身(删除) 
16 {
17     if(root == NULL) // 树中没有x这个数据 
18         return;
19     if(root->data == x)
20     {
21         if(root->lchild==NULL && root->rchild==NULL)  //没有左右子树,直接删除 
22         {
23             root = NULL;
24         }
25         else if(root->lchild!=NULL) // 有左子树,则找前驱来覆盖root 
26         {
27             node *pre = findMax(root->lchild);
28             root->data = pre->data;
29             deleteNode(root,pre->data);
30         }
31         else if(root->rchild!=NULL) // 有右子树,则找后继来覆盖root 
32         {
33             node *next = findMin(root->rchild);
34             root->data = next->data;
35             deleteNode(root,next->data);
36         }
37     }
38     else if(root->data > x)  // 根据二叉查找树特性继续找x 
39     {
40         deleteNode(root->lchild,x);
41     }
42     else
43     {
44         deleteNode(root->rchild,x);
45     }
46 }

这段代码还可以进行优化，例如在找到欲删除结点root的后继结点next后，不进行递归删除，而通过这样的手段直接删除该后继：假设结点next的父亲结点是结点S，显然next是结点S的左孩子，那么由于结点next一定没有左子树，便可以直接把结点next的右子树代替结点next成为S的左子树，这样就删去了结点next。前驱同理。但这个优化需要在结点定义中额外记录每个结点的父亲结点地址。
而且我们可以发现上面的二叉查找树删除操作总是优先删除前驱(或者后继)，这样容易使树的左右子树高度不平衡，最终使二叉查找树退化成一条链。
有两种方法解决这个问题：1.每次交替删除前驱或者后继 2.记录每个节点子树的高度，并且总是优先在高度较高的子树里删除结点。（也是平衡二叉树(AVL树)的原理）

二叉查找树的一个性质：因为二叉查找树本身的特点(左<=根<右)，因此对二叉查找树进行中序遍历，遍历的结果是有序的。