二叉排序树(BST)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了二叉排序树(BST)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

二叉排序树(BST)

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二叉排序树,又称二叉查找树(BST)

左子树结点值<根节点值<右子树结点值

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如果用中序遍历来遍历一棵二叉排序树的话,可以得到一个递增的有序数列

左根右

二叉排序树的查找

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//二叉排序树结点
typedef struct BSTNode{
    int key;
    struct BSTNode *lchild,*rchild;
}BSTNode,*BSTree;

查找是非常方便的,目标值和根节点比较,如果相等则成功,比根节点大往右去,比根节点小往左去。

查找失败就返回null

非递归方式:

//在二叉排序树中查找值为key的结点
BSTNode *BST_search(BSTree T, int key){
    while(T!=NULL&&key!=T->key){ 	//若树为空或等于根节点值,则结束循环
        if(key<T->key){				//小于,则在左子树
            T=T->lchild;
        }else{						//大于,则在右子树
            T=T->rchild;
        }       
    }
    return T;
}

最坏空间复杂度=O(1)

递归方式:

//在二叉排序树中查找值为key的结点(递归实现)
BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){
    if(T==NULL){
        return NULL;						//查找失败
    }
    if(key==T->key){
        return T;							//查找成功
    }else if(key <T->key){
        return BSTSearch(T->lchild,key);	//在左子树找
    }else{
         return BSTSearch(T->rchild,key);	//在右子树找
    }
}

最坏空间复杂度=O(h) 和树的高度相同

二叉排序树的插入

若原二叉排序树为空,则直接插入结点;

否则,若关键字k小于根节点值,则插入到左子树,若关键字k大于根节点值,则插入到右子树。

//在二叉排序树插入关键字为k的新节点(递归实现)
int BST_Insert(BSTree &T,int k){
    if(T == NULL){				//原树为空,新插入的结点为根节点
        T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
        T->key = k;
        T->lchild = T->rchild = NULL;
        return 1;				//返回1,插入成功
    }else if(k == T->key){		//树中不能存在相同关键字的结点,插入失败
        return 0;
    }else if(k<T->key){			//插入到T的左子树
        return BST_Insert(T->lchild,k);
    }else{						//插入到T的右子树
        return BST_Insert(T->rchild,k);
    }
}

最坏空间复杂度=O(h)

二叉排序树的构造

其实就是不断插入新节点的过程

//按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树
void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){
    T = NULL;				//初始化时T为空树
    int i = 0;
    while(i<n){				//依次将每个关键字插入到二叉排序树
        BST_Insert(T,str[i]);
        i++;
    }
}

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不同的关键字序列可能得到同款二叉排序树,也可能得到不同款二叉排序树

二叉排序树的删除

先搜索找到目标结点:

(需要保证二叉排序书的特性——左子树结点值<根节点值<右子树结点值)

  • 若是被删除的结点z是叶节点,则直接删除,不会破坏二叉排序树的性质。

  • 若结点z只有一棵左子树或右子树,则让z的子树称为z父节点的子树,替代z的位置

  • 若结点z有左、右两棵子树,则令z的直接后继(或直接前驱)替代z,然后从二叉排序树中删去这个直接后继(或直接前驱),这样就转换成了第一或第二种情况。

进行中序遍历,可以得到一个递增的有序序列。

用右子树最小的值来替代被删除的值(最左下)

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用左子树最大的值来替代被删除元素(最右下角)

查找效率分析

查找长度——在查找运算中,需要对比关键字的次数称为查找长度,反应了查找操作时间复杂度

查找成功的平均查找长度ASL(Average Search Length)

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树高h,找到最下层的一个结点需要对比h次

最坏情况:每个节点只有一个分支,树高h=结点数n。平均查找长度=O(n)

最好情况:

n个结点的二叉树最小高度为

[lfloor log_2n floor+1 ]

平均查找长度=

[O(log_2n) ]

查找失败

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以上是关于二叉排序树(BST)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数据结构与算法:树 二叉排序树(BST)

二叉排序树(BST)的建立

二叉排序树(BST)

(王道408考研数据结构)第五章树-第四节1:二叉树排序树(BST)及其操作

二叉排序树BST

树和二叉树总结—BST二叉排序树