[POI2011]Lightning Conductor

Posted 2021-02-02 papercloud

传送门

Description

已知一个长度为n的序列(a_1,a_2,...,a_n)。

对于每个(1leq ileq n)，找到最小的非负整数(p)满足 对于任意的(j), (a_j leq a_i + p - sqrt{abs(i-j)})

Solution

去掉(abs)容易，前后各扫一遍就可以了。

(f[i]=max(num[j]-num[i]+sqrt{i-j}))

函数(f(x)=sqrt x)的增长率越来越慢

如果当前最优转移为(k)，可知之后的最优转移必然(>=k)

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这题是决策单调性的题目。

决策单调性的核心是利用决策点单调的性质，维护一个决策点的队列，满足任何时候后面的点都不优于前面的点，否则就把队首的元素pop掉，用二分就可以算出一个点优于前一个点时间，显然这个时间是应该单增的。

Code?

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MN 500005
int n,a[MN],t[MN];
double f[MN],sq[MN];
int l,r,q[MN];
inline void rw(double &x,double y){if(y>x) x=y;}
inline double calc(int T,int x){return a[x]+sq[T-x];}
inline int get(int x,int y)
{
    int l=y,r=n,mid,ans=n+1;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(calc(mid,x)<=calc(mid,y)) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    n=read();
    register int i;
    for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),f[i]=0.;
    for(i=1;i<=n;++i) sq[i]=sqrt((double)i);
    for(l=1,r=0,i=1;i<=n;++i)
    {
        for(;l<r&&calc(t[r-1],q[r])<calc(t[r-1],i);) --r;
        if(r) t[r]=get(q[r],i);q[++r]=i;
        for(;l<r&&t[l]<=i;) ++l;
        rw(f[i],calc(i,q[l]));
    }
    memset(t,0,sizeof t);
    for(i=1;i+i<=n;++i) std::swap(a[i],a[n-i+1]),std::swap(f[i],f[n-i+1]);
    for(l=1,r=0,i=1;i<=n;++i)
    {
        for(;l<r&&calc(t[r-1],q[r])<calc(t[r-1],i);) --r;
        if(r) t[r]=get(q[r],i);q[++r]=i;
        for(;l<r&&t[l]<=i;) ++l;
        rw(f[i],calc(i,q[l]));
    }
    for(i=n;i;--i) printf("%.0lf
",max(0,ceil(f[i])-a[i]));
    return 0;
}

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