CF468D Tree(树的重心)

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https://www.luogu.org/problemnew/show/CF468D

题目大意:

有一个n个节点的树(编号1~n)。树上的每一个边都是正值。

我们定义两点之间的距离dis(v,u)为这两点最短路径边的权值之和。

设数列p为一个1~n的全排列。求使得sigma dis(i,pi?)最大的、字典序列最小的全排列p

 

思路:

我们先选择任意一个点当做根,然后令dep[i]表示i到根距离。
接下来可以变换一下目标式

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在根确定的情况下,减号前面部分的值是定的,只需要最小化后面部分。
可以给出的结论是,如果我们选择重心为根,后面部分可以最小为0。
这显然是答案下界,接下来我们给出构造方案。

以不同点为根,最终答案一样,我们不妨用重心为根,好算。

重心的性质是,每个子树的大小都不超过n/2。
结论是,一定存在一个排列p,使得i和p[i]不在一个子树中。
不妨考虑归纳的证明。
显然n<=2该结论都成立。
考虑如果n成立,那么n+2也成立。
找到n+2情况最大的子树,任取一个叶子,并找到另一个子树中一个叶子(因为节点数大于2,一定有至少两个子树),设为i和j,则令p[i]=j,p[j]=i,然后删去这两个叶子。
最大子树不超过n/2+1,删去一个叶子后就不超过n/2,显然我们归纳到了更小情况。

那么当一个子树出现t+x=n?i时,就很关键了,因为i在不断变大,因此右边会减小,如果左边不能随之减小,就会不合法。
而可以知道每次一个子树t和x只可能其中一个减了1,因此这个等式其实就一直满足了!所以我们用set维护所有子树的t+x,每次查看是否存在满足等式的子树,设该子树为p,那么接下来,如果i’在p子树内(t会减一),则可以正常做,否则,我们为其寻找的配对j’必须在p子树内(x会减一)。找配对的话,可以用线段树维护,同一个子树内按编号从小到大放入一个序列中,每次指针往后移即可。
至于根是一个棘手的问题,根和任意都能配对,所以根要特殊考虑一下。

 












以上是关于CF468D Tree(树的重心)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

ICPC2019徐州 现场赛M Kill the tree 树的重心

AIM Tech Round 4 (Div. 1) C - Upgrading Tree 构造 + 树的重心

树分治基础模板以及树的重心(poj1741 tree)

cf 686D - Kay and Snowflake

树的重心及直径

求树的重心