树的重心及直径

Posted lyxzhz

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了树的重心及直径相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

树的重心

  1. 定义:树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后,生成的多棵树尽可能平衡。
  2. 性质
  • 树中所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的,如果有两个距离和,他们的距离和一样。
  • 把两棵树通过一条边相连,新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
  • 一棵树添加或者删除一个节点,树的重心最多只移动一条边的位置。
  • 一棵树最多有两个重心,且相邻。
    3.find树的重心
  • 主要用DP思想
  • root为重心,f[x]记录以x为根节点其子树的最大节点数,sum[x]记录以x为根节点其子树的所有节点数
 void getroot(int now,int fa)

    f[now]=0; sum[now]=1;
    for (int i=head[now]; i!=-1; i=e[i].nx)
        if (e[i].v!=fa)
        
            getroot(e[i].v,now);
            sum[now]+=sum[e[i].v];
            f[now]=max(f[now],sum[e[i].v]);
        
    f[now]=max(f[now],n-sum[now]);//此时以now为根节点,now的父节点为它的一个子树,n-sum[now]为now父节点的节点总数
    if (f[now]<ans) ans=f[now]; root=now;
    if (f[now]==ans&&now<root) root=now;

4.一道模板题:poj1655

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20005;
int T,n,tot,root,ans,head[N],f[N],sum[N];
 struct ss

    int v,nx;
e[N*2];

 void add(int u,int v)

    tot++; e[tot].v=v; e[tot].nx=head[u]; head[u]=tot;

 void getroot(int now,int fa)

    f[now]=0; sum[now]=1;
    for (int i=head[now]; i!=-1; i=e[i].nx)
        if (e[i].v!=fa)
        
            getroot(e[i].v,now);
            sum[now]+=sum[e[i].v];
            f[now]=max(f[now],sum[e[i].v]);
        
    f[now]=max(f[now],n-sum[now]);
    if (f[now]<ans) ans=f[now]; root=now;
    if (f[now]==ans&&now<root) root=now;


 int main()

    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    
        memset(head,-1,sizeof(head)); tot=0;
        memset(f,0,sizeof(f)); memset(sum,0,sizeof(sum));
        int u,v;
        scanf("%d",&n); 
        ans=0x3f3f3f3f;
        for (int i=1; i<n; i++)
        
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v); add(v,u);
        
        getroot(1,-1);
        printf("%d %d\n",root,f[root]);
    
    return 0;

树的直径:树的最长简单路

  • 任取一点BFS,找到最远点x后,从x开始BFS在找到另一个最远点y,x到y的距离为树的直径
  • poj2631
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20005;
int head[N],tot,d[N],q[N],ans,num;
bool flag[N];
 struct ss

    int v,w,nx;
f[N];

 void add(int u,int v,int w)

    tot++; f[tot].v=v; f[tot].w=w; f[tot].nx=head[u]; head[u]=tot;

 int bfs(int s)

    memset(flag,0,sizeof(flag));
    flag[s]=1; d[s]=0; q[1]=s; ans=-1;
    int l=0,r=1; 
    while (l<r)
    
        int x=q[++l];
        if (d[x]>ans) ans=d[x],num=x;
        for (int i=head[x]; i!=-1; i=f[i].nx)
            if (!flag[f[i].v])
            
                flag[f[i].v]=true;
                d[f[i].v]=d[x]+f[i].w;
                q[++r]=f[i].v;      
            
    
    return num;


 int main()

    int u,v,w; tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    while (scanf("%d%d%d",&u,&v,&w)!=EOF) add(u,v,w),add(v,u,w);
    bfs(bfs(1));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;

以上是关于树的重心及直径的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[算法模版]树的重心和直径

树的直径与重心

树的直径与重心

树讲解——树的输入,重心,直径

bzoj3510 首都 LCT 维护子树信息+树的重心

浅谈树的重心