高等数学 集合

Posted 2021-01-31 eret9616

一、集合

 

一个书柜中的书

一间教室的全体学生

全体实数构成一个集合

 

集合:具有某种特定性质的事物的总体。

 组成这个集合的事物称为该集合的元素

 

图片

数集分类:

 

N 自然数集 N={0,1,2,…,n,…}

 

Z 整数集 Z ={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}

 

Q 有理数集 Q = {p/n| p∈Z,q∈N+(正整数集合) 且p,q 互质}

互质:最大公约数为1

 

R 实数集 R={x|x是有理数或无理数}

 

子集:

若x∈A 则必x∈B 就说A是B的子集，记作A?B

 

数集间的关系:N?Z（自然数属于整数）,Z?Q（整数属于有理数），Q?R（有理数属于实数）

 

！实数集是四个容器中最大的

 

集合相等：若A?B 且B?A 就称为集合A与B相等

 

空集: 不含任何元素的集合称为空集，记作?

 

二、集合的运算

 

并集:设A和B是两个集合 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B

  即: A∪B={x|x∈A或x∈B}

 

交集:设A和B是两个集合 所有既属于A又属于B的元素组成的集合。称为A与B的交集，记作A∩B，即:

A∩B = {x|x∈A 且x∈B}

 

差集

差集:设A和B是两个集合 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合 称为A与B的差集 记作AB 即 AB = {x|x∈A且?B}

 

 

全集和补集:研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集，我们称集合I为全集

 

补集:I/A为A的补给 记作A^c

 

三、区间与邻域

区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点

 

任意a,b属于实数集且a<b

{x|a<x<b} 称为开区间 记作(a,b)

{x|a<=x<=b} 称为闭区间 记作[a,b]

 

区间

{x|a<=x<b} 称为半开区间 记作 [a,b)

 

无限区间

 

[a,+∞) = {x|a<=x}

(-∞,b)={x|x<b}

 

全体实数的集合R可以记作(-∞,+∞)

 

邻域:设δ(德尔塔)是任一正数，则开区间(a-δ,a+δ)就是a的一个邻域

这个邻域称为点a的δ邻域 记作U(a,δ) 即:

  U(a,δ) = {x|a-δ<x<a+δ}

点a称为这邻域的中心，δ称为这个邻域的半径

 

希腊字母:小写δ

 

·去心邻域 (不包括a这个点)

·左δ邻域 (a-δ,a)

·右δ邻域 (a,a+δ)