高等数学 映射与函数

Posted 2021-01-31 eret9616

一、映射

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f

·使得对x中每个元素x 按法则f

·在Y中有唯一确定的元素y与之对应，

·则称f为从X到Y的映射 记作f:X->Y

·元素y称为元素x的像，元素x称为元素y的一个原像

 

举例:照镜子 镜子中也有一个你 (像和原像

 

·定义域:集合X称为映射f的定义域 记作Df 即Df=X

·值域:X中所有元素的像组成的集合称为映射f的值域

     记作Rf或f(X) 即:

          Rf = f(X) = {f(x)|x∈X}

 

映射三要素

·集合X 即定义域Df=X

·集合Y 即值域的范围 Rf?Y  （Y不是值域，Y包含Rf）

·对应法则f 使对每个x∈X 有唯一确定的y=f(x)与之对应

 

注意

·对每个x∈X 元素x的像y是唯一的

·对每个y∈Rf 元素y的原像不一定是唯一的

·映射f的值域Rf是Y的一个字集 即Rf?Y 不一定Rf=Y

 

·满射 Rf=Y

·单射 任意x1 x2 ∈X x1≠x2 有f(x1)≠f(x2)
·一一映射:满射+单射

 

 

·函数的概念

函数的定义(function)

·设数集D?R(实数集) 则称映射f:D->R为定义在D上的函数 通常简记为y=f(x) x∈D

·其中x称为自变量，y称为因变量 D称为定义域 记作Df 即Df=D

·函数值:对每个x∈D 按对应法则f 总有唯一确定的值y与之对应 这个值称为函数f在x处的函数值 记作f(x)

·函数关系:因变量y与自变量x之间的这种依赖关系称为函数关系

·值域:函数值f(x)全体构成的集合称为函数f的值域 记作Rf或f(D)

 

函数的两要素

·定义域与对应法则

 

函数的定义域

·有实际意义背景的函数 根据实际背景中变量的实际意义确定

例:自由落体运动 s= 1/gt^2 t∈[0,T]

 

·抽象的用算式表达的函数 其定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值

y= D:[-1,1]

 

y= （分母不能为0 根号内也要大于0 所以使(-1,1)

函数的图形表示方法

 

·坐标平面上的点集{P(x,y)|y=f(x),x∈D},称为函数y=f(x) x∈D的图形

 

特殊函数举例:

·符号函数

 

·y=sgnx = {1(当x>0    0(当x=0       -1(当x<0

（想象一下它的图形）

 

·取整函数

y=[x],[x]表示不超过x的最大整数

 

 

·取最值函数

y=max{f(x),g(x)}

 

 

·分段函数

·在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数

 

三、函数的特性

函数的有界性

·若X?D 存在M>0 对任意x∈X 有|f(x)|<=M成立 则成f(x)在X上有界，否则称无界

函数的单调增加性

·设函数f(x)的定义域为D 区间I?D

·如果对于区间I上任意两点x1及x2

·当x1<x2 恒有f(x1)<f(x2)

则称f(x)在区间I上是单调增加的

函数的单调减少性

…

 

函数的奇偶性

·设D关于原点对称

·对于任意x∈D 有f(-x)=f(x)

则称函数f(x)为偶函数

·设D关于原点对称，

·对于任意x∈D 有f(-x)=-f(x)

则称函数f(x)为奇函数

 

函数的周期性

·设函数f(x)的定义域为D 如果存在一个不为零的数l 使得对于任一x∈D (x+-l)∈D 且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的函数

四、初等函数

·幂函数 y=x^u

·指数函数 y=a^x

 

 

·对数函数 y = logax (a>0且a≠1)

 

 

1) 当a=e时 记为y=lnx

·三角函数

  ·正弦函数 y = sinx

 

 

  ·余弦函数 y = cosx

 

 

 

 

  ·正切函数 y = tanx

 

 

  ·余切函数 y = cotx