P1357 花园

Posted 2021-01-28 cold-cold

 

【数据规模】

40%的数据中，N<=20；

60%的数据中，M=2；

80%的数据中，N<=10^5。

100%的数据中，N<=10^15。

 

看到这个数据范围，我首先想到的是80分的写法

80分的写法可以使用状压DP

f[i][j]表示第i位，前m个二进制状态为j有多少种方式

t1=(j>>1)|(1<<(m-1));

t2=j>>1;

转移到下一位有两种选择

t1为选C花圃，t2为选P花圃

当然如果选t1则超过k个C花圃，则不可转移

if(ji[t1]<=k) f[i+1][t1]=(f[i+1][t1]+f[i][j])%mo;
f[i+1][t2]=(f[i+1][t2]+f[i][j])%mo;

另外要注意的是原花圃是一个环

所以我们枚举起始状态，转移n+m次，取f[n+m]中状态与起始相同加入总和

80分的状压DP具体实现如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    register ll p(1),a(0);register char ch=getchar();
    while((ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘) ch=getchar();
    if(ch==‘-‘) p=-1,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) a=a*10+ch-48,ch=getchar();
    return a*p;
}
const ll N=100100,M=(1<<5),mo=1000000007;
ll f[N][M],n;
int ans=0,ji[M],t1,t2,m,k;
inline int suan(int xx)
{
    register int num=0;
    while(xx)
    {
        if(xx&1) num++;
        xx>>=1;
    }
    return num;
}
int main()
{
    // freopen("input","r",stdin);
    // freopen("output","w",stdout);
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(register int i=(1<<m)-1;i>=0;i--)
        ji[i]=suan(i);
    for(register int kk=(1<<m)-1;kk>=0;kk--) if(ji[kk]<=k)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[m][kk]=1;
        for(register int i=m;i<  n+m;i++)
            for(register int j=(1<<m)-1;j>=0;j--)
            {
                t1=(j>>1)|(1<<(m-1));
                t2=j>>1;
                // prllf("%d %d
",t1,t2);
                if(ji[t1]<=k) f[i+1][t1]=(f[i+1][t1]+f[i][j])%mo;
                f[i+1][t2]=(f[i+1][t2]+f[i][j])%mo;
            }
        ans=(ans+f[n+m][kk])%mo;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

然后我们再来考虑100分的做法

范围开到了1e15我们显然只能使用logn的算法

很容易想到矩阵快速幂的套路

使用状压DP的2^m种状态作为点

于是可以使用原来的思路建出一步可达矩阵图

快速幂n次方即可

100分矩阵快速幂实现如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    register ll p(1),a(0);register char ch=getchar();
    while((ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘) ch=getchar();
    if(ch==‘-‘) p=-1,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) a=a*10+ch-48,ch=getchar();
    return a*p;
}
const ll N=100100,M=(1<<5),mo=1000000007;
struct matrix
{
    ll data[M][M];
    matrix(){memset(data,0,sizeof(data));}
};
ll f[N][M],n,ans=0,ji[M],t1,t2,m,k,big;
inline int suan(int xx)
{
    register int num=0;
    while(xx)
    {
        if(xx&1) num++;
        xx>>=1;
    }
    return num;
}
matrix chen(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    for(register int i=0;i<big;i++)
        for(register int j=0;j<big;j++) if(a.data[i][j])
            for(register int k=0;k<big;k++)
                c.data[i][k]=(c.data[i][k]+a.data[i][j]*b.data[j][k])%mo;
    return c;
}
matrix qs(matrix a,ll b)
{
    matrix ans;
    for(register int i=0;i<big;i++) ans.data[i][i]=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=chen(ans,a); 
        a=chen(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    // freopen("input","r",stdin);
    // freopen("output","w",stdout);
    n=read(),m=read(),k=read();
    matrix temp,now;
    big=1<<m;
    for(register int i=(1<<m)-1;i>=0;i--)
        ji[i]=suan(i);
    for(register int i=(1<<m)-1;i>=0;i--) if(ji[i]<=k)
    {
        t1=(i>>1)|(1<<(m-1));
        t2=i>>1;
        if(ji[t1]<=k) temp.data[i][t1]=1;
        temp.data[i][t2]=1;
    }
    temp=qs(temp,n);
    for(register int i=(1<<m)-1;i>=0;i--) if(ji[i]<=k)
        ans=(ans+temp.data[i][i])%mo;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}