题解Luogu P1357 花园

Posted 2021-12-03 yzhang-rp-inf

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我们先将花圃断环为链，并将\([1,m]\)复制一份到\([n+1,n+m]\)，最后要求\([1,n+m]\)是合法序列且\([1,m]\)与\([n+1,n+m]\)相等的序列的数量即可

\(m\)很小，珂以考虑状压，\(C\)是\(0\)，\(P\)是\(1\)，可以将长\(m\)的花圃压缩成一个数

我们先考虑\([1,m]\)的可行方法，直接暴力预处理

如何从\([1,m]\)转移到\([2,m+1]\)：设\([1,m]\)的状态为\(a\)，我们珂以将第一个数字删掉再在最后加一个\(0/1\)得到一个新状态\(b/c\)，连一条\(a->b/c\)的边（\(c\)要判断一下\(1\)的数量）

之后亦是如此。这样我们将问题转化为求一个有向图中长度为\(n\)的环的数量

这就珂以用矩阵快速幂优化了qwqwq

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define N 32
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline ll read()
{
    register ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
struct mat{
    int a[N][N];
    inline mat()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    inline mat operator*(const mat&b)const{
        mat c;
        for(register int i=0;i<N;++i)
            for(register int j=0;j<N;++j)
                for(register int k=0;k<N;++k)
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1ll*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
        return c;
    }
}s; 
inline mat fastpow(register mat a,register ll b)
{
    mat res;
    for(register int i=0;i<N;++i)
        res.a[i][i]=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll n,ans;
int m,k,lim,ok[N];
inline void work(register int zt,register int num)
{
    ok[zt]=1;
    int kl=zt>>1;
    s.a[zt][kl]=1;
    if(num==k&&!(zt&1))
        return;
    s.a[zt][kl+(1<<(m-1))]=1;
}
inline void dfs(register int x,register int num,register int zt)
{
    if(x==m+1)
    {
        work(zt,num);
        return;
    }
    dfs(x+1,num,zt);
    if(num<k)
        dfs(x+1,num+1,zt|(1<<(x-1)));
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),k=read();
    dfs(1,0,0);
    s=fastpow(s,n);
    for(register int i=0;i<(1<<m);++i)
        if(ok[i])
            ans=(ans+s.a[i][i])%mod;
    write(ans);
    return 0;
}