[数论]欧拉函数＆素数筛

Posted 2021-01-28 mogeko

一、欧拉函数

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。

通式：

 

其中p₁, p₂……p_n为x的所有质因数，x是不为0的整数。

• 比如x=12，拆成质因数为12=2*2*3，
• 12以内有1/2的数是2的倍数，那么有1-1/2的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），
• 这6个数里又有1/3的数是3的倍数，
• 只剩下(1 - ¹/₂ - ¹/₃)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。
• 这样剩下的12*(1 - ¹/₂ - ¹/₃)=4，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。

证明：对于正整数x，

• 如果x=1，则 φ(1) = 1。
  • 1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

• 如果x是质数，则 φ(x)=x-1 。
• 质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

• 如果n只有一个质因数p，即x = p^k(p为质数，k>=1)，则φ(p^k)=p^k(1-1/p)=p^k-p^k-1 。
• 从1~x中，p的倍数共有x/p个，共占了1/p，则减去这些数后，还剩下x*（1-1/p）个。
• 可以看出，上一种情况是 k=1 时的特例。

• 如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n = p₁ * p_2，则φ(x) = φ(p₁ * p₂) = φ(p₁) * φ(p₂)。
• 积性函数：若当m与n互质时，f(m?n)=f(m)?f(n) f(m*n)=f(m)*f(n)f(m?n)=f(m)?f(n)，那么f是积性函数。
• 欧拉函数是积性函数（证明略）。

• 任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
• 可以得到，φ(x) = φ(p₁)*φ(p₂)*...*φ(p_n) = x(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*...*(1-1/p_n).

一些（目前不需要的）性质：

• 当n>2时，φ(n)是偶数。
• 小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。
• n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。
• 若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
• 对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理。
• 当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理。

求欧拉函数：

1.埃拉托斯特尼筛

求1~n所有数的欧拉函数：每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。复杂度大概是O(nlognlogn)。

void euler(int n){
    for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (phi[i]==i)for (int j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);

2.欧拉筛

每次找到一个最小的因数（一定为质因数），求出x*（1 - 1/p）。复杂度为O(n)。

int euler(int n){
     int res=n,a=n;    
     for(int i=2;i*i<=a;i++){
         if(a%i==0){    
             res=res/i*(i-1);
             while(a%i==0) a/=i;    
         }    
　　　}
     if(a>1) res=res/a*(a-1);    
     return res;
}

对于x = p₁^k * p₂^m...，只需要求一次（1-p₁）（1-p2）...就可以了，

为了保证每个质因数只被使用一次，通过以上的while循环把x中的p₁除尽。

 

二、素数筛法

好困（我觉得这个写的挺好）

 

参考文章：

https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324

https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672