数论知识

Posted 2022-12-16 jian-song

积性函数

定义

若f(x)满足f(pq)=f(p)*f(q)且p⊥q，则f(x)为积性函数。

特殊地，若不要求p⊥q，则为完全积性函数。

性质一

若将n表示成质因子分解式（算数基本定理）

 

则有：

性质二

若f为积性函数且有     则f为完全积性函数。

 

素数

暴力筛 

暴力出奇迹。

埃氏筛

思路就是找到一个素数后筛掉它的所有倍数。

欧拉筛

相当于埃氏筛的一个优化，即只用一个合数的最小质因数筛，避免重复筛。

const int M=1e8+8;
int prime[M],cnt;//素数表 
bool ss[M];//i是否是素数 
inline void sushu()
    memset(ss,true,sizeof(ss));
    for(int i=2;i<=M;i++)
        if(ss[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            if(i*prime[j]>M||(!i%prime[j])) break;//筛完结束&避免重复筛 
            ss[i*prime[j]]=false;
        
    
    ss[1]=ss[0]=false;
 

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MIller-Rabin筛素数

分解质因数