全概率公式与贝叶斯公式

Posted 2021-01-27 zzdbullet

一、条件概率公式

举个例子，比如让你背对着一个人，让你猜猜背后这个人是女孩的概率是多少？

直接猜测，肯定是只有５０％的概率，假如现在告诉你背后这个人是个长头发，那么女的概率就变为９０％。

所以条件概率的意义就是，当给定条件发生变化后，会导致事件发生的可能性发生变化。

    条件概率由文氏图出发，比较容易理解：

 

    表示B发生后A发生的概率，由上图可以看出B发生后，A再发生的概率就是，因此：

 

由：

 

得：

 

这就是条件概率公式。

假如事件A与B相互独立，那么：

 

注：

相互独立：表示两个事件发生互不影响。而互斥：表示两个事件不能同时发生，（两个事件肯定没有交集）。

互斥事件一定不独立（因为一件事的发生导致了另一件事不能发生）；

独立事件一定不互斥，（如果独立事件互斥， 那么根据互斥事件一定不独立，那么就矛盾了），但是在概率形式上具有一些巧合性，一般地：

 

但是，对于两个独立事件，依然可以等于0，因为事件A或者事件B发生的概率可能为0.所以，并不是一定表示互斥。互斥和独立的理解还是要究其真正意义，而不是表达形式。

二、全概率公式

    先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：

 

每天上述三条路不拥堵的概率分别为：

 

假设遇到拥堵会迟到，那么小张从Home到Company不迟到的概率是多少？

 

其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件为选择第i条路，则：

 

 

 

全概率就是表示达到某个目的，有多种方式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到目的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）？

全概率公式：

    设事件是一个完备事件组，则对于任意一个事件Ｃ，若有如下公式成立：

 

那么就称这个公式为全概率公式。

三、贝叶斯公式

    仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？

可不是，因为０．５这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。

故有：

 

 

 

所以选择第一条路的概率为０．２８．

贝叶斯公式就是当已知结果，问导致这个结果的第i原因的可能性是多少？执果索因！

贝叶斯公式：

在已知条件概率和全概率的基础上，贝叶斯公式是很容易计算的：

 

 

--------------------- 作者：hearthougan 来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/75174210 版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！