bzoj 4407 于神之怒加强版 —— 反演+筛积性函数

Posted 2021-01-26 zinn

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407

推导如这里：https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5191506.html

然后发现 ( F(D) ) 是一个积性函数，可以筛质数的同时筛出来；

首先，单个质数 ( p ) 时只有 ( d=1 ) 和 ( d=p ) 两个因数，所以 ( F[p] = p^{k} - 1 )

然后如果筛到互质的数，直接把 ( F() ) 相乘即可；

如果不互质，说明那个数已经有 ( p ) 这个质因子，考虑会在什么地方出现；

观察那个 ( mu(d) ) 里面的 ( d )，不会有两个及以上相同的质因子，所以新加入的这个 ( p ) 不会在 ( d ) 中单独出现了；

所以所有的 ( mu(d) ) 外面那个 ( (frac{D}{d})^{k} ) 里面都会加入一个 ( p^{k} )，拿出来单独乘上即可；

注意分块的边界是 ( min(n,m) )，因为枚举的是 ( gcd ) ；

因为有负数，最后别忘了再模一下。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=5e6+5,mod=1e9+7;
int n,m,k,pri[xn],cnt,f[xn],s[xn];
bool vis[xn];
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=1;
  for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod)if(b&1)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;}
void init()
{
  int mx=5e6; f[1]=1;
  for(int i=2;i<=mx;i++)
    {
      if(!vis[i])pri[++cnt]=i,s[i]=pw(i,k),f[i]=upt(s[i]-1);
      for(int j=1;j<=cnt&&(ll)i*pri[j]<=mx;j++)
    {
      vis[i*pri[j]]=1;
      if(i%pri[j])f[i*pri[j]]=(ll)f[i]*f[pri[j]]%mod;
      else {f[i*pri[j]]=(ll)f[i]*s[pri[j]]%mod; break;}
    }
    }
  for(int i=2;i<=mx;i++)f[i]=upt(f[i]+f[i-1]);
}
int main()
{
  int T; scanf("%d%d",&T,&k); init();
  while(T--)
    {
      scanf("%d%d",&n,&m); int mn=min(n,m),ans=0;//
      for(int i=1,j;i<=mn;i=j+1)
    {
      j=min(n/(n/i),m/(m/i));
      ans=(ans+((ll)f[j]-f[i-1])*(n/i)%mod*(m/i))%mod;
    }
      printf("%d
",upt(ans));//-
    }
  return 0;
}