BZOJ4407: 于神之怒加强版

Posted 2020-10-05 QYP_2002

4407: 于神之怒加强版

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Description

给下N,M,K.求

 

 

 

Input

输入有多组数据，输入数据的第一行两个正整数T,K，代表有T组数据，K的意义如上所示，下面第二行到第T+1行，每行为两个正整数N,M，其意义如上式所示。

 

Output

如题

 

Sample Input

1 2
3 3

Sample Output

20

HINT

 

1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000

思路{

　　把该式变成枚举gcd

　　Ans=(min(n,m))∑(i=1) (i^k)*F(i) F(d)=∑(1<=i<=n,,1<=j<=m)(d|gcd(i,j))

　　套路莫比乌斯反演得F(n)=∑(n|d)(n/d)*(m/d)*μ(d/n)

　　Ans=(min(n,m))∑(i=1) (i^k)* ∑(i|d)(n/d)*(m/d)*μ(d/i)

　　套路把(n/d)*(m/d)提前

　　Ans=(min(n,m)) ∑(D=1) (n/D)*(m/D)*∑(i|D) μ(D/i)*(i^k)

　　关键就是后面这个东东=∑(i|D) μ(D/i)*(i^k)

　　设G(D)=∑(i|D) μ(D/i)*(i^k).为狄利克雷卷积形式(然而我不知道有什么卵用)

　　然后打表发现它是一个积性函数,线性筛就可以了.

}

 

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define il inline
#define db double
#define LL long long
#define N 5000010
#define mod 1000000007
using namespace std;
LL p[N],k,t,n,m;bool vis[N];
LL Q[N],F[N];
LL qp(LL a,LL b){
  if(!b)return 1;if(b==1)return a;
  LL tmp=qp(a,(b>>1));
  tmp=(tmp*tmp)%mod;
  if(b&1)tmp=(tmp*a)%mod;
  return tmp;
}
void make(){
  F[1]=1;
  for(LL i=2;i<N;++i){
    if(!vis[i])p[++p[0]]=i,Q[i]=qp((LL)i,k),F[i]=(Q[i]-1+mod)%mod;
    for(int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<N;++j){
      vis[p[j]*i]=true;
      if(i%p[j])F[p[j]*i]=(F[i]*F[p[j]])%mod;
      else {F[p[j]*i]=(F[i]*Q[p[j]])%mod;break;}
    }
  }
  for(int i=2;i<N;++i)F[i]+=F[i-1],F[i]%=mod;
}
void work(){
  LL Ans(0);
  for(LL l=1,r;l<=n;l=r+1){
    r=min(n/(n/l),m/(m/l));
    Ans+=(((F[r]-F[l-1]+mod)%mod)*(((LL)(n/l)*(LL)(m/l))%mod))%mod;
    if(Ans>=mod)Ans-=mod;
  }cout<<Ans<<"\n";
}
int main(){
  scanf("%lld%lld",&t,&k);make();
  while(t--){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);work();
  }return 0;
}