大素数判断和素因子分解（miller-rabin，Pollard_rho算法） 玄学快

Posted 2021-01-24 shuaihui520

 

大数因数分解Pollard_rho 算法

复杂度o^(1/4)

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <algorithm>  
#include <cmath>  
#include <cstring>  
#include <map>  
using namespace std;
 
const int times = 50;
int number = 0;
 
map<long long, int>m;
long long Random( long long n )
{
    return ((double)rand( ) / RAND_MAX*n + 0.5);
}
 
long long q_mul( long long a, long long b, long long mod ) //快速乘法取模
{
    long long ans = 0;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans += a;
        }
        b /= 2;
        a = (a + a) % mod;
 
    }
    return ans;
}
 
long long q_pow( long long a, long long b, long long mod ) //快速乘法下的快速幂，叼
{
    long long ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = q_mul( ans, a, mod );
        }
        b /= 2;
        a = q_mul( a, a, mod );
    }
    return ans;
}
 
bool witness( long long a, long long n )//miller_rabin算法的精华
{
    long long tem = n - 1;
    int j = 0;
    while(tem % 2 == 0)
    {
        tem /= 2;
        j++;
    }
    
    long long x = q_pow( a, tem, n ); //得到a^(n-1) mod n
    if(x == 1 || x == n - 1) return true;
    while(j--)
    {
        x = q_mul( x, x, n );
        if(x = n - 1) return true;
    }
    return false;
}
 
bool miller_rabin( long long n )  //检验n是否是素数
{
 
    if(n == 2)
        return true;
    if(n < 2 || n % 2 == 0)
        return false;
 
    for(int i = 1; i <= times; i++)  //做times次随机检验
    {
        long long a = Random( n - 2 ) + 1; //得到随机检验算子 a
        if(!witness( a, n ))  //用a检验n是否是素数
            return false;
    }
    return true;
}
 
long long gcd( long long a, long long b )
{
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd( b, a%b );
}
 
long long pollard_rho( long long n, long long c )//找到n的一个因子
{
    long long x, y, d, i = 1, k = 2;
    x = Random( n - 1 ) + 1;
    y = x;
    while(1)
    {
        i++;
        x = (q_mul( x, x, n ) + c) % n;
        d = gcd( y - x, n );
        if(1<d&&d<n)
            return d;
        if(y == x)//找到循环，选取失败，重新来
            return n;
        if(i == k) //似乎是一个优化，但是不是很清楚
        {
            y = x;
            k <<= 1;
        }
    }
}
 
void find( long long n, long long c )
{
    if(n == 1)
        return;
    if(miller_rabin( n ))
    {
        m[n]++;
        number++;
        return;
    }
 
    long long p = n;
    while(p >= n)
        p = pollard_rho( p, c-- );
    find( p, c );
    find( n / p, c );
}
 
int main( )
{
    long long tar;
    while(cin >> tar)
    {
        number = 0;
        m.clear();
        find( tar, 2137342 );
        printf( "%lld = ", tar );
        if(m.empty())
        {
            printf( "%lld
", tar );
        }
        for(map<long long, int>::iterator c = m.begin(); c != m.end();)
        {
            printf( "%lld^%d", c->first, c->second );
            if((++c) != m.end())
                printf( " * " );
        }
        printf( "
" );
    }
    return 0;
}

View Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
long long factor[1000005];
int tot;
const int S=50;

long long mult(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ret=(ret+a)%c;
        }
        b>>=1;
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
    }
    return ret;
}

long long pow(long long x,long long n,long long mod)
{
    if(n==1)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ret=mult(ret,tmp,mod);
        }
        tmp=mult(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1)return true;//是合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1)return true;
    return false;
}

bool miller_rabin(long long n)//判素数
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2) return true;
    if((n&1)==0)return false;
    long long x=n-1;
    long long t=0;
    while((x&1)==0)
    {
        x>>=1;
        t++;
    }
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-1)+1;
        if(check(a,n,x,t))//如果检查出来是合数
        return false;
    }
    return true;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;
    if(a<0)return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long pollard_rho(long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x)return d;
        if(y==x0)return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}
    void findphi(long long n)
    {
        if(miller_rabin(n))
        {
            factor[tot++]=n;
            return;
        }
        long long p=n;
        while(p>=n)
        {
            p=pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);

        }
        findphi(p);
        findphi(n/p);
    }

    int main()
    {
        long long n;
        while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
        {
            tot=0;
            findphi(n);
            for(int i=0;i<tot;i++)
            printf("%I64d",factor[i]),printf("
");
            if(miller_rabin(n))printf("yes
");
            else printf("no
");
        }
        return 0;
    }

View Code

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;


//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小


//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}



//计算  x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
    if(n==1)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}





//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow_mod(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin(long long n)
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶数
    long long x=n-1;
    long long t=0;
    while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}


//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;//???????
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}

int main()
{
    //srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
    long long n;
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
    {
        tol=0;
        findfac(n);
        for(int i=0;i<tol;i++)printf("%I64d ",factor[i]);
        printf("
");
        if(Miller_Rabin(n))printf("Yes
");
        else printf("No
");
    }
    return 0;
}

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