POJ2155/LNSYOJ113 Matrix二维树状数组+差分做题报告

Posted 2021-01-24 qin-wei-kai

这道题是一个二维树状数组，思路十分神奇，其实还是挺水的

题目描述

给定一个N∗NN∗N的矩阵AA,其中矩阵中的元素只有0或者1，其中A[i,j]A[i,j]表示矩阵的第i行和第j列(1≤i,j≤N)(1≤i,j≤N),初始矩阵元素都是0。在矩阵上进行TT次操作，操作有以下两种：

(1)格式为C x1 y1 x2 y2(1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤n)C x1 y1 x2 y2(1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤n) ，其中CC为字符“C”，表示把以(x1,y1)(x1,y1)为左上角，(x2,y2)(x2,y2)为右下角的这个矩形内的每一个数字同1异或

(2)格式为Q x y(1≤x,y≤n)Q x y(1≤x,y≤n)，其中QQ为字符“Q”， 表示询问A[x,y]A[x,y]的值。

 

输入格式

第一行输入XX，表示X组测试数据

接下来每一组测试数据第一行包含两个整数NN和TT,其中NN表示矩阵的大小,TT表示对矩阵操作次数。

接下来TT行形式如 "Q x y" or "C x1 y1 x2 y2"操作，见题目中描述

 

输出格式

对于每个Q x yQ x y的操作输出答案A[x,y]A[x,y]。

样例一

input

1
2 10
C 2 1 2 2
Q 2 2
C 2 1 2 1
Q 1 1
C 1 1 2 1
C 1 2 1 2
C 1 1 2 2
Q 1 1
C 1 1 2 1
Q 2 1

output

1
0
0
1

限制与约定

对于30%的数据N≤100,T≤3000N≤100,T≤3000

对于50%的数据N≤500,T≤20000N≤500,T≤20000

对于100%的数据N≤1000,T≤50000,X≤10N≤1000,T≤50000,X≤10

时间限制：1s1s

空间限制：256MB

首先二维树状数组的标准写法

 1 #define lowbit(a) (a)&(-a)
 2 void change(int px,int py,int val)
 3 {
 4     for(int i=px;i<=n;i+=lowbit(i))
 5         for(int j=py;j<=n;j+=lowbit(j))
 6             tree[i][j]=(tree[i][j]+val)%2;
 7 }
 8 int ask(int px,int py)
 9 {
10     int ans=0;
11     for(int i=px;i;i-=lowbit(i))
12         for(int j=py;j;j-=lowbit(j))
13             ans=(ans+tree[i][j])%2;
14     return ans;
15 }

 

就是一维树状数组加了一层循环，很好理解的233 

这道题需要打个差分，差分个人理解就是把正常一个数组i与i-1做差，得到的一个差分数组，然后查询时累加前缀和，这么做有很多方便的地方，比如洛谷的树状数组2

来介绍一下差分

设数组a[]={1,6,8,5,10}，那么差分数组b[]={1,5,2,-3,5}

也就是说b[i]=a[i]-a[i-1];(a[0]=0;)，那么a[i]=b[1]+....+b[i];(这个很好证的)。

假如区间[2,4]都加上2的话

a数组变为a[]={1,8,10,7,10}，b数组变为b={1,7,2,-3,3};

发现了没有，b数组只有b[2]和b[5]变了，因为区间[2,4]是同时加上2的,所以在区间内b[i]-b[i-1]是不变的.

所以对区间[x,y]进行修改,只用修改b[x]与b[y+1]:

b[x]=b[x]+k;b[y+1]=b[y+1]-k;

以上就是差分的应用，对于区间修改时应该想到差分，

比如这道题，就是矩阵的子矩阵修改，这种方法就非常nice

看下面这张图，修改绿色部分，只需把红色的都+1%2，再累加前缀和能满足（图片出处在水印233）

其实差分区间修改都可以理解为，比如修改（x，y）全部加2，只要把差分数组中x位置，然后再把y+1减2，就能完美解决，配上树状数组，这样修改和查询就就是O（log（n）），时间复杂度满足

注意要清数组清数组清数组清数组清数组，没清数组只A了一个点QAQ

最后放代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #define lowbit(a) (a)&(-a)
 5 int t,n,k,x,y,z,w;
 6 int tree[1111][1111];
 7 char opt[5];
 8 void change(int px,int py,int val)
 9 {
10     for(int i=px;i<=n;i+=lowbit(i))
11         for(int j=py;j<=n;j+=lowbit(j))
12             tree[i][j]=(tree[i][j]+val)%2;
13 }
14 int ask(int px,int py)
15 {
16     int ans=0;
17     for(int i=px;i;i-=lowbit(i))
18         for(int j=py;j;j-=lowbit(j))
19             ans=(ans+tree[i][j])%2;
20     return ans;
21 }
22 int main()
23 {
24     scanf("%d",&t);
25     while(t--)
26     {
27         memset(tree,0,sizeof(tree));
28         scanf("%d%d",&n,&k);
29         for(int i=1;i<=k;i++)
30         {
31             scanf("%s",opt);
32             if(opt[0]==‘C‘)
33             {
34                 scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&w);
35                 change(x,y,1),change(z+1,w+1,1),change(x,w+1,1),change(z+1,y,1);
36             }else if(opt[0]==‘Q‘)
37             {
38                 scanf("%d%d",&x,&y);
39                 printf("%d
",ask(x,y));
40             }
41         }
42     }
43     return 0;
44 }

 

 

By  浅夜_MISAKI