数学三分法

Posted 2021-01-21 yifusuyi

Definition

当一个函数(f(x))满足在区间在区间([l,r])内有且仅有一个(x~in~[l,r]~,~s.t.~~f(x))在([l,x])内单调严格递增，在([x,r])内单调严格递减，则说(f(x))在([l,r])内是一个单峰函数，求出单峰点(x)的算法为三分法。

Solution

考虑对一个区间([l,r])，取三等分点，记做(midl)和(midr)。不妨设(midl~<~midr)，则若(f(midl)~leq~f(midr))，则单峰点一定在区间([midl，r])范围内。反之单峰点一定在区间([l,midr])范围内。

证明：

首先设(f(midl)~<~f(midr))，

以下说明(midl)一定不在单峰点右侧。

若(midl)在单峰点右侧，则(forall~x_0~in~(midl,r])，都有(f(x_0)~<~f(x))。因为(midr~>~midl)且(f(midr)~>~f(midl))，于是产生矛盾。故可说明(midl)一定不再单峰点右侧。

当(f(midl)~>~f(midr))时，证明同上。

再设(f(midl)~=~f(midr))，

以下说明单峰点一定在([midl,midr])之间

假设(midl)和(midr)同在单峰点一侧，则(f(x))在区间([midl,midr])上严格单调，而(f(midl)~=~f(midr))，产生矛盾。于是单峰点一定在([midl,midr])之间。

证毕

于是在([l,r])内取两个三等分点(在代码中使用黄金分割点)，比较两点函数值大小，对函数值较小的一侧缩小区间即可。

Example

传送门

Description

给出一个(N)次函数，保证在范围([l,r])内存在一点(x)，使得([l,x])上单调增，([x,r])上单调减。试求出(x)的值。

Input

第一行一次包含一个正整数N和两个实数(l,r)，含义如题目描述所示。

第二行包含(N+1)个实数，从高到低依次表示该(N)次函数各项的系数。

Output

输出为一行，包含一个实数，即为(x)的值。四舍五入保留5位小数。

Hintt

(forall:)

(7~leq~n~leq~13~,~|A_i|~<10)。其中(|A_i|)为系数

Solution

板子题要啥solution

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long double ldb;
typedef long long int ll;

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
    rg char ch=getchar(),lst=' ';
    while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
    while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(lst == '-') x=-x;
}

namespace IO {
    char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
    if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
    rg int top=0;
    do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
    while(top) putchar(IO::buf[top--]);
    if(pt) putchar(aft);
}

inline void readldb(long double &x) {
    double _temp;
    scanf("%lf",&_temp);
    x=_temp;
}

inline void printldb(const long double &x) {
    double _ret=x;
    printf("%.5lf
",_ret);
}

const int maxn = 20;
const long double eps = 1e-10l;
const long double mul = 0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374l;

int n;
ldb MU[maxn];

ldb ask(ldb);

int main() {
    qr(n);
    ldb l,r;readldb(l);readldb(r);
    for(rg int i=0;i<=n;++i) readldb(MU[i]);
    while((r-l) >= eps) {
        ldb midl=r-(r-l)*mul,midr=l+(r-l)*mul;
        ldb ansl=ask(midl),ansr=ask(midr);
        if(ansl >= ansr) r=midr-eps;
        else l=midl+eps;
    }
    printldb(l);
    return 0;
}

ldb ask(ldb x) {
    ldb _ret=0,_dx=1;
    for(rg int i=n;~i;--i) _ret+=MU[i]*_dx,_dx*=x;
    return _ret;
}

Summary

当且仅当在单峰点两侧严格单调才能作为单峰函数处理。