郑州大学2018新生训练赛第十场题解

Posted 2021-01-20 moonfair

　　比赛（补题）地址：http://222.22.65.164/problemset.php

　　题号为：4305 —— 4309

　　总述：这次新生赛难度偏于平和，但涵盖方面甚广，其中一道签到题是c语言题，并且有两道是hdu一百题的原题，一道简单的最小生成树，唯一“有些难度”的应该是一道数论题（毕竟本来自己就是搞数学的）。

 　　A.沙漠骆驼

　　　　　　

　　　　　　

　　这是一道经典的递推问题，原型为HDU 2044的“一只小蜜蜂…”。思路很简单，以第5个沙丘为例，到达第五个沙丘的方式有两种：从第3个向 右走，或从第4个向右上走。设dp[ i ]为从第一个沙丘走到第i个的路径数，我们容易得到递推方程：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　dp[5] = dp[4] + dp[3]

　　那么依此类推，得到一般的递推方程：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　dp[ i ] = dp[ i-1 ] + dp[ i-2 ]

　　而从第a个到第b个，则可以简化为第1个到第b-a个。

　　　　　　　　

 1 ll f[100];
 2  
 3 void init() {
 4     f[1] = f[2] = 1;
 5     for (int i = 3; i < 100; i++) {
 6         f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
 7     }
 8 }
 9  
10 int main() {
11     init();
12      
13     int t;
14     scanf("%d", &t);
15     int a, b;
16     while (t--) {
17         scanf("%d%d", &a, &b);
18         printf("%lld
", f[b - a + 1]);
19     }
20      
21     return 0;
22 }

 

　　B.炉石传说真好玩！

　　水题，原题是 HDU 2052 的 “Picture”，直接放代码：

 1 int main() {
 2     int n, m;
 3     while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
 4         putchar(‘+‘);
 5         for (int i = 0; i < n; i++) putchar(‘-‘);
 6         putchar(‘+‘);
 7         putchar(‘
‘);
 8         for (int i = 0; i < m; i++) {
 9             putchar(‘|‘);
10             for (int j = 0; j < n; j++) {
11                 putchar(‘ ‘);
12             }
13             putchar(‘|‘);
14             putchar(‘
‘);
15         }
16         putchar(‘+‘);
17         for (int i = 0; i < n; i++) putchar(‘-‘);
18         putchar(‘+‘);
19         putchar(‘
‘);
20         putchar(‘
‘);
21     }
22      
23     return 0;
24 }

 

　　C.加油啊！奥托大人！

　　Emmm，这是一道裸的Kruskal，不理解的大家可以搜索一下，不想搜的也可以等数据结构老师讲，2333.

　　这道题的原题是 HDU 1863 的 “ 畅通工程”。

　　代码如下：

 1 struct Edge {
 2     int from, to, w;
 3      
 4     Edge(int from = 0, int to = 0, int w = 0):
 5     from(from), to(to), w(w) {}
 6      
 7     bool operator < (const Edge &rhs) const {
 8         return w < rhs.w;
 9     }
10 } edge[MAXEDGE];
11  
12 int parents[MAXVERTEX];
13 int vertices, edges;
14  
15 void init() {
16     for (int i = 1; i < MAXVERTEX; i++) {
17         parents[i] = i;
18     }
19 }
20  
21 int find(int x) {
22     if (parents[x] == x) {
23         return x;
24     } else {
25         return parents[x] = find(parents[x]);
26     }
27 }
28  
29 bool unite(int x, int y) {
30     x = find(x);
31     y = find(y);
32     if (x == y) {
33         return true;
34     } else {
35         parents[y] = x;
36     }
37     return false;
38 }
39  
40 int kruskal() {
41     init();
42     sort(edge, edge + edges);
43     int ans = 0, counter = 1;
44     for (int i = 0; i < edges; i++) {
45         if (unite(edge[i].from, edge[i].to)) {
46             continue;
47         } else {
48             ans += edge[i].w;
49             counter++;
50         }
51         if (counter >= vertices) {
52             break;
53         }
54     }
55     if (counter >= vertices) {
56         return ans;
57     } else {
58         return -1;
59     }
60 }
61  
62 int main() {
63     int u, v, w;
64      
65     while (~scanf("%d%d", &edges, &vertices)) {
66         if (edges == 0) break;
67         for (int i = 0; i < edges; i++) {
68             scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
69             edge[i] = Edge(u, v, w);
70         }
71          
72         int ans = kruskal();
73         if (ans == -1) {
74             printf("?
");
75         } else {
76             printf("%d
", ans);
77         }
78     }
79      
80     return 0;
81 }

 

　

　　D.大家快来%啊！

　　这。。。签到题就不用讲，也不用放代码了吧。

　　唯一需要注意的是纯c选手输出时需要将%转义。

　　　　

　　E.R.I.P.

　　根据算数基本定理，任何一个自然数都可以唯一地分解为若干个素数的乘积，如果我们列出这个数所有的质因数，并写成幂的乘积的形式，则称其为标准素因数分解式：

　　比如：对于120，120 = 2*2*2*3*5，写成标准素因数分解式就是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　120 = 2³ * 3¹ * 5¹

　　那么我们就可以轻易地得到 120 因子个数：所有幂次+1的乘积 

　　也就是：                                       ( 3 + 1 ) * ( 1 + 1 ) * ( 1 + 1 ) = 16　　

　　.....在此证明过程不再赘述　

　　知道了这些，我们来考虑让一个数因子个数扩大到二倍（我们称其为一次“扩展”）的 “ 费用 ” ： 

　　我们可以将总的费用写为素因子幂的乘积的形式。

　　考虑这样实现：将总费用维护为一个堆（为什么要维护成堆？请认真思考），每个素因子的费用都保存在一个含有“ 底数，指数，值 ”的结构体中。

　　初始时堆中没有元素，通过不断进行“ 扩展 ”，逐渐向堆中增加元素，直到因子个数符合要求（500500）。

　　那么 最后每一个结构体中的值再除以底数（为什么要除以底数？请认真思考） 的乘积就是总的费用。

　　在考虑操作方法，不外乎有两种：                                                     

　　　　1、扩展一个新的（指数为0）的素因子（比如说取了 2），并标记为“新素数”（以待后用）。

　　　　　　同时对这个素因子的费用进行更新 2^{（0+1）->(1 + 1)}　　　　　　　　　　　

　　　　2、在堆中取扩展费用最小的素数，进行扩展（更新其指数），同时更新其费用。

　　　　　　如果这个素数是一个“新素数”，那么我们从打好的素数表中，取下一个素数（比如说取了2）进堆，将其指数初始化为0。

　　下边来看一下代码实现：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 int MAXN=600000,curnum=0;
 5 bool vis[10000000];
 6 vector<int> sushu;
 7 int cursushu=0;
 8 struct node{
 9     int dishu;
10     int zhishu;
11     ll zhi;
12 
13 };
14 bool operator<(node a,node b)
15 {
16     return a.zhi>b.zhi;
17 }
18 
19 priority_queue<node> dui;
20 ll ans=1;
21 
22 void dabiao(){
23     for(ll i=2;;i++){
24         if(!vis[i]){
25             sushu.push_back(i);
26         }
27         if(sushu.size()>500500){
28             break;
29         }
30         for(ll j=i*i;j<10000000;j+=i){
31             vis[j]=true;
32         }
33     }
34 }
35 void addnew(int x){
36     node p;
37     p.dishu=sushu[x];
38     p.zhishu=1;
39     p.zhi=p.dishu;
40     dui.push(p);
41 }
42 
43 
44 void update_old_node(node tmp){
45     node a;
46     a.dishu=tmp.dishu;
47     a.zhishu=tmp.zhishu*2;
48     a.zhi=1;
49     for(int i=0;i<a.zhishu;i++){
50         a.zhi*=a.dishu;
51     }
52     dui.push(a);
53 }
54 
55 void act(){
56     node tmp=dui.top();
57     dui.pop();
58     if(tmp.dishu==sushu[cursushu-1]){
59         addnew(cursushu++);
60         update_old_node(tmp);
61     }
62     else{
63         update_old_node(tmp);
64     }
65 }
66 
67 int main()
68 {
69     cout<<"Input N:"<<endl;
70     int n;
71     cin>>n;
72     dabiao();
73     addnew(cursushu++);
74     for(int i=0;i<n;i++)
75         act();
76     while(!dui.empty()){
77         ans*=(dui.top().zhi/dui.top().dishu%500500507);
78         ans%=500500507;
79         dui.pop();
80     }
81     cout<<ans;
82 }

 

　　　更新得这么迟实在不好意思，抱歉耽误大家时间了，QAQ！