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Posted 2021-01-19 captain1

在解析几何中，我们大量的使用列方程求解未知量。但是在计算机计算的时候，解析几何的算法因为使用除法过多可能会带来严重的精度误差，所以简单来说，计算几何使用了一些其他的等效的方法来解决这些问题。

这里先说一个比较基础的题目，大意为给定一个点数为n的正方形，点按照顺序给出，给定m个点，判断点是否在多边形内。

我们的判定方法是：过给定的点做与x轴平行的一条射线（方向无所谓），计算其与多边形的交点个数，如果是奇数个则在多边形内，否则不在。

但是问题在于可能有一些特殊的情况，比如说交点正好是一条边的下端点或者上端点。这里的处理方法是，对于点在线段上的情况直接特判掉，否则如果在上端点相交则视为相交，下端点相交视为不相交。这个是没有问题的，如果在形外，那么一个端点会被计算两次或者不算，结果一样。如果在形内，那么对于两条边的交点，必然是同时与一上一下端点相交，没有影响。

至于判断点在线段上的方法，用到的是向量的内积和外积。而一开始的图形面积处理用的是向量外积求图形面积的方法。这些做法以后补上……

所以具体的思路就是，首先构造出一个多边形，计算一下它的有向面积，如果<0的话就把图形整体反过来。之后对于给定的每一个点，枚举图形的所有边判断是否与其相交，计算出交点个数之后判定是否在图形内部即可。

看一下代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)
#define fr friend inline

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 100005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-6;

int read()
{
   int ans = 0,op = 1;
   char ch = getchar();
   while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
   {
      if(ch == ‘-‘) op = -1;
      ch = getchar();
   }
   while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
   {
      ans *= 10;
      ans += ch - ‘0‘;
      ch = getchar();
   }
   return ans * op;
}

struct point
{
   double x,y;
   point(){}
   point(double kx,double ky) : x(kx),y(ky) {}
   fr point operator + (const point &ls,const point &rs)// vector plus
   {
      return point(ls.x + rs.x,ls.y + rs.y);
   }
   fr point operator - (const point &ls,const point &rs)//vector minus
   {
      return point(rs.x - ls.x,rs.y - ls.y);
   }
   fr point operator * (const point &p,const double &a)//vector multi
   {
      return point(p.x * a,p.y * a);
   }
   fr double operator * (const point &ls,const point &rs)//calc area
   {
      return ls.x * rs.y - ls.y * rs.x;
   }
   fr double dot(const point &ls,const point &rs)//dot product
   {
      return ls.x * rs.x + ls.y * rs.y;
   }
}q;

inline bool check(const point &u,const point &v,const point &p)
{
   double det = (u - p) * (v - p);
   if(det != 0) return 0;
   double D = dot(u - p,v - p);
   return D <= 0;
}

struct polygon
{
   int n;
   point p[M];
   void init(int x)
   {
      n = x;
      rep(i,0,n-1) scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
      p[n] = p[0];
      if(Area() < 0) reverse(p,p+n); p[n] = p[0];
   }
   inline double Area() const
   {
      double res = 0;
      rep(i,0,n-1) res += p[i] * p[i+1];
      return res;
   }
   bool inner(const point &q)
   {
      int cnt = 0;
      rep(i,0,n-1)
      {
     if(check(p[i],p[i+1],q)) return 1;
     double d1 = p[i].y - q.y,d2 = p[i+1].y - q.y;
     double det = (p[i] - q) * (p[i+1] - q);
     if((det >= 0 && d1 < 0 && d2 >= 0) || (det <= 0 && d1 >= 0 && d2 < 0)) ++cnt;
      }
      return cnt & 1;
   }
}P;

int t,n,m;

int main()
{
   while(++t)
   {
      n = read();
      if(!n) break;
      m = read(),P.init(n);
      if(t != 1) enter;
      printf("Problem %d:
",t);
      while(m--)
      {
     scanf("%lf%lf",&q.x,&q.y);
     if(P.inner(q)) printf("Within
");
     else printf("Outside
");
      }
   }
   return 0;
}