连续时间傅里叶变换

Posted 2021-01-17 seniusen

1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内

[x(t) = egin{cases} 1, & ext |t| < T_1 , & ext T_1 < |t| < T/2 end{cases}]

以周期 (T) 周期重复，如下图所示。

该方波信号的傅里叶级数系数 (a_k) 是

[ ag{1}a_k = frac{2sin(komega_0T_1)}{komega_0T}]
式中 (omega_0 = 2pi/T)。

理解（1） 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

[ ag{2}Ta_k = frac{2sinomega T_1}{omega}lvert _{omega=komega_0}]

这就是，若将 (omega) 看作一个连续变量，则函数 $ {(2sinomega T_1)}/{omega}$ 就代表 (Ta_k) 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 (T_1) 固定，则 (Ta_k) 的包络就与 (T) 无关，如下图所示。

从该图可以看出，随着 (T) 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 (T) 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。

与此同时，傅里叶级数（乘以 (T) 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 (T o infty)，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。

现在我们来考虑一个信号 (x(t))，它具有有限持续期 (2T_1)，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 ( ilde x(t))，使 (x(t)) 就是 ( ilde x(t)) 的一个周期。当把 (T) 选的比较大时，(x(t)) 就在一个更长的时段上与 ( ilde x(t)) 相一致，并且随着 (T o infty)，对任意有限时间值 (t) 而言，( ilde x(t)) 就等于 (x(t))。

在这种情况下，我们考虑将 ( ilde x(t)) 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 (-T/2 leqslant t leqslant T/2)。

[ ag{3} ilde x(t) = sum_{k=-infty}^{+infty}a_ke^{jkomega_0t}]

[ ag{4}a_k = frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} ilde x(t)e^{-jkomega_0t}dt]

式中 (omega_0=2pi / T)，由于在 (|t|< T/2) 内，( ilde x(t)=x(t))，而在其余地方，(x(t)=0)，所以（4）式可以重新写为

[ ag{5}a_k = frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}x(t)e^{-jkomega_0t}dt=frac{1}{T}int_{-infty}^{+infty}x(t)e^{-jkomega_0t}dt]

因此，定义 (Ta_k) 的包络 (X(jomega)) 为

[ ag{6}X(jomega)=int_{-infty}^{+infty}x(t)e^{-jomega t}dt]

这时候，系数 (a_k) 可以写为

[ ag{7}a_k = frac{1}{T}X(jkomega_0)]

将（3） 和 （7）结合在一起，( ilde x(t)) 就可以用表示为

[ ag{8} ilde x(t) = sum_{k=-infty}^{+infty} frac{1}{T}X(jkomega_0)e^{jkomega_0t} = frac{1}{2pi}sum_{k=-infty}^{+infty} X(jkomega_0)e^{jkomega_0t}omega_0]

随着 (T o infty)，( ilde x(t)) 趋近于 (x(t))，式（8）的极限就变成 (x(t)) 的表达式。再者，当 (T o infty) 时，有 (omega_0 o 0)，式（8）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 (X(jkomega_0)e^{jkomega_0t}) 宽度为 (omega_0) 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成

[ ag{9}oxed{ x(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty} X(jomega)e^{jomega t}domega}]

[ ag{10}oxed{X(jomega)=int_{-infty}^{+infty}x(t)e^{-jomega t}dt}]

（9）式和 （10）式被称为傅里叶变换对。函数 (X(jomega)) 称为 (X(t)) 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而 （9）式称为傅里叶反变换式。

• 例 1
  

• 例 2
  
  

sinc 函数通常所用的形式为

[ ag{11} sinc( heta)=frac{sinpi heta}{pi heta}]

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 (x(t))，其傅里叶变换 (X(jomega)) 是一个面积为 (2pi)，出现在 (omega = omega_0)处的单独的一个冲激，即

[ ag{12} X(jomega) = 2pidelta(omega-omega_0)]

为了求出与 (X(jomega)) 对应的 (x(t))，可以应用式（9）的反变换公式得到

[ ag{13}x(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty} 2pidelta(omega-omega_0)e^{jomega t}domega=e^{jomega_0 t}]

将上面的结果再加以推广，如果 (X(jomega)) 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

[ ag{14} X(jomega) = sum_{k=-infty}^{+infty}2pi a_kdelta(omega-komega_0)]

那么利用式（9），可得

[ ag{15} x(t) = sum_{k=-infty}^{+infty}a_ke^{jkomega_0 t}]

可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 ({a_k}) 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 (k) 次谐波频率 (komega_0) 上的冲激函数的面积是第 (k) 个傅里叶级数系数 (a_k) 的 ({2pi}) 倍。

3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 (x(t)) 和 (X(jomega)) 这一对傅里叶变换用下列符号表示

[ x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(jomega)]

3.1. 线性

若

[ x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(jomega)]

和

[ y(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} Y(jomega)]

则

[ ag{16} oxed{ ax(t)+by(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} aX(jomega)+bY(jomega)}]

3.2. 时移性质

若

[ x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(jomega)]

则

[ ag{17} oxed{ x(t-t_0) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} e^{-jomega t_0}X(jomega)}]

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

若

[ x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(jomega)]

则

[ ag{18} oxed{ x^*(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X^*(-jomega)}]

共轭性质就能证明，若 (x(t)) 为实函数，那么 (X(jomega)) 就具有共轭对称性，即

[ ag{19} oxed{ X(-jomega) = X^*(jomega) qquad [x(t) 为实]}]

这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.4. 微分和积分

[ ag{20} oxed{ frac{dx(t)}{dt} overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} jomega X(jomega)}]

[ ag{21} oxed{ int_{-infty}^{t}x( au)d au overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} frac{1} {jomega} X(jomega)+pi X(0)delta(omega)}]

3.5. 时间与频率的尺度变换

若

[ x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(jomega)]

[ ag{22} oxed{ x(at) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} frac{1}{|a|}X(frac{jomega}{a})}]

若令 (a=-1)，则有

[ ag{23} oxed{ x(-t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(-jomega)}]

3.6. 对偶性

3.7. 帕斯瓦尔定理

若

[ x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(jomega)]

则

[ ag{24} oxed{int_{-infty}^{+infty}|x(t)|^2dt =frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}|X(jomega)|^2domega }]

3.8. 卷积性质

[ ag{25} oxed{y(t)=h(t)*x(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} Y(jomega)=H(jomega)X(jomega)}]

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

[ ag{27} oxed{r(t)=s(t)p(t) overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} R(jomega)=frac{1}{2pi}[S(jomega)*P(jomega)]}]

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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