异或和（权值树状数组）

Posted 2021-01-16 kylinbalck

异或和（权值树状数组）

题目描述

在加里敦中学的小明最近爱上了数学竞赛，很多数学竞赛的题都是与序列的连续和相关的。所以对于一个序列，求出它们所有的连续和来说，小明觉得十分的简单。但今天小明遇到了一个序列和的难题，这个题目不仅要求你快速的求出所有的连续和，还要快速的求出这些连续和的异或值。小明很快的就求出了所有的连续和，但是小明要考考你，在不告诉连续和的情况下，让你快速求是序列所有连续和的异或值。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入一个(n),表示这序列的数序列 第二行输入(n)个数字(a1,a2...an)代表这个序列

(0<=a1,a2,...an，0<=a1+a2...+an<=10^6)

输出格式：

输出这个序列所有的连续和的异或值

输入输出样例

输入样例

3
1 2 3

输出样例

0

数据范围

对于20%的数据，(1<=n<=100)

对于100%的数据，(1<=n <= 10^5)

题解

位运算每一位之间没有关系，所以遇到位运算先想每一位分别做。

这个题，我们只需要考虑当前位有多少(sum[i][j])是(1)。复杂度(n^2)显然过不了。

设(sum[i])为前缀和。考虑前面有多少个前缀和，被当前前缀和减后，这一位为(1)。因为只有为1才对答案有贡献。最后我们只要考虑1的个数就好啦。

怎样算合法？

考虑一个数(x)，若(x)这一位是(1)，为了不把这一位减没，(x)所减的数(y)这一位如果是(1)，则(y)这一位往右的数都应比(x)这一位往右的数大，因为当减不了的时候会向高位借位；若(y)这一位为(0),则(y)往右的数都应不大于(x)往右的数。

若(x)该位为(0),同理。

最后，若这一位是1的个数是奇数，则答案加上这一位。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long read(){
//  puts("ZAY AK IOI");
    long long x=0;int f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return f?-x:x;
}
inline int low(int x){
    return x&(-x);    
}
int n,tot,sum[1000010];
struct Dier{
    int tree[1000010];
    void clear(){memset(tree,0,sizeof(tree));}
    inline void add(int k){
        while(k<=tot) tree[k]++,k+=low(k);
    }
    inline int find(int k){
        int ans=0;
        while(k>0) ans+=tree[k],k-=low(k);
        return ans;
    }
}zero,one;
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+read();//前缀和
    tot=sum[n]+1;
    int ans=0;
    for(int i=0;(1<<i)<=tot;++i){
        zero.clear(),one.clear();
        int cnt=0;//计算1的个数
        zero.add(1);
        for(int j=1;j<=n;++j){
            int now=(sum[j]%(1<<i))+1;//第i位往右的数
            if(((sum[j]>>i)&1)==1) cnt+=zero.find(now)+one.find(tot)-one.find(now),one.add(now);
            else cnt+=zero.find(tot)-zero.find(now)+one.find(now),zero.add(now);
        }
        if(cnt&1) ans+=1<<i;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}