2018年四校联合周赛-第二场 B.异或和问题（二维树状数组）

Posted 2020-10-27 hinata_hajime

异或和问题

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64-bit integer IO format:%I64d

Problem Description

现在有一个n行n列的矩阵。初始状态下，矩阵里的所有值都为0。行的编码是从1到n,列的编码也同样是从1到n. 

a_i,?j.是在第i行第j列的数。子矩阵(x₀, y₀, x₁, y₁)是由a_i,?j. （x₀?≤?i?≤?x₁, y₀?≤?j?≤?y₁）组成的矩阵。
现在需要进行下列的两个操作：
       1.查询(x₀,?y₀,?x₁,?y₁):输出子矩阵(x₀,?y₀,?x₁,?y₁)的异或和。
       2.更新(x₀, y₀, x₁, y₁, v):将子矩阵(x₀,?y₀,?x₁,?y₁)中的每一个数都异或上一个v

Input

第一行包含两个数:n(1<=n<=1000),m(1<=m<=100000)  m是需要操作的次数。

对于接下来的m行：
如果该行的第一个数是1，表示查询操作，后面是x₀, y₀, x₁, y₁.
如果该行的第一个数是2，表示更新操作，后面是x₀, y₀, x₁, y₁, v.
数据保证：1?≤?x₀?≤?x₁?≤?n, 1?≤?y₀?≤?y₁?≤?n  ，0?≤?v?<?2⁶²   

Output

对于每一个查询操作，输出对应的结果，占单独的一行。

SampleInput

2 3 
2 1 1 2 2 1
2 1 1 1 1 2
1 1 1 2 2

SampleOutput

2


 Note:
  经过第一个操作得到  
          1  1 
          1  1
  经过第二个操作得到
          3  1
          1  1
  询问：3XOR1XOR1XOR1=2  


分析：首先，本题进行的是区间更新，以及区间查询的操作。

     根据异或具有的性质，奇数个a相异或等于a , 偶数个a相异或等于0，

     如果将 (x0,?y0,?x1,?y1)区间异或一个v,那么对后面求区间异或和的影响，无非是两种，等于更新前的异或和，
     或者在原本的异或和基础上异或一个v.所以可以考虑将影响直接作用于单点上，进而转变为单点更新。

     如果是在一个一维的区间里进行操作的话，比如现在有数组b1,b2,b3,b4,b5....bn
     对于区间[2,n]异或上一个v的话,再查询区间[1,m].

     如果m为奇数，也就是与更新时的左端点奇偶性不同，
     在异或过程，就会不断的互相抵消，最后为一开始的b1^b2^b3..^bm.
     如果m为偶数，也就是与更新时的左端点奇偶性相同，就将上述结果再异或上v;

     所以处理的时候，就可以当作单点更新，可以把左端点b2分为两种状态，
     在m为奇数查询下的状态和在m为偶数查询下的状态，分别为b2和b2^v;
     
     同理，如果在区间[a,b]上进行更新操作，相当于进行两个操作，将[a,n]异或一次，再将[b+1,n]异或一次
          如果在区间[a,b]上进行查询操作，相当于[1,b]^[1,a-1]
     
     二维的情况下，也是相同的道理，只是要区分两个坐标的奇偶性，所以用到4个状态来储存。
     现在求解就变成了 单点更新和区间查询，就可以直接使用二维树状数组了.
     这个将区间更新转为单点更新的操作,类似于差分树状数组对加减法的区间操作。
      
代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=1010;
LL c[2][2][MAXN][MAXN];
int n,m;
LL val;
int lowbit(int x)
{
 return x&-x;
}

void add(int a,int b)
{
   for(int i=a;i<=n;i+=lowbit(i))
     for(int j=b;j<=n;j+=lowbit(j))
      c[a&1][b&1][i][j]^=val;
}

LL sum(int a,int b)
{
    int aa=a&1,bb=b&1;
  LL ans=0;
  for(int i=a;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=b;j>=1;j-=lowbit(j))
  {
    ans^=c[a&1][b&1][i][j];
  }
  return ans;
}

int main()
{
   scanf("%d%d",&n,&m);
   int x1,x2,y1,y2,op;
   LL ans;

   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
     scanf("%d",&op);

     if(op==1)
     {
       scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
       ans=sum(x2,y2)^sum(x2,y1-1)^sum(x1-1,y2)^sum(x1-1,y1-1);
       printf("%I64d\n",ans);
     }

     else
     {
       scanf("%d%d%d%d%I64d",&x1,&y1,&x2,&y2,&val);
       add(x1,y1),add(x2+1,y1),add(x1,y2+1),add(x2+1,y2+1);
     }

   }
    return 0;
}