浅谈差分约束系统

Posted 2021-01-15 chenxiaoran666

前言

差分约束系统应该是一个比较有用的算法。它建立在图的思想上，常与最短（长）路算法一起出现。

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一道例题

下面是一组不等式：

[A-B≥5 ag{①}]

[B-E≥7 ag{②}]

[A-E≥6 ag{③}]

[D-A≥9 ag{④}]

[B-C≥6 ag{⑤}]

[C-E≥2 ag{⑥}]

现在问你一个问题：(A-E)的最小值是多少？

其实在这组不等式中，我们有很多方法得到一个形如(A-E≥x)的式子：

• 第一种方法：由③式直接得(A-E≥6)

• 第二种方法：①+②得(A-E≥12)

• 第三种方法：①+⑤+⑥得(A-E≥13)

因此，我们可以求出答案：(A-E)的最小值是13。

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用差分约束系统来求解上面这个问题

通过我们刚才的解题步骤，我们可以总结归纳出一个解决该类问题的通用方法，也就是差分约束系统。

我们刚才通过(A-B≥5)、(B-C≥6)、(C-E≥2)来求出了(A-E≥13)，仔细观察可以发现，相邻的两个式子中都有一个相同的字母，而我们正是借助了这个字母来实现转移的。

是不是有一种熟悉的感觉？

这不就是最长路径嘛！

没错，对于一个类似于(A-B≥x)的式子，我们可以从(B)向(A)连一条有向边，且这条边的边权为(x)。

这样，对于上面这个问题，我们只需求出(E)至(A)的最长路即可。

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不等式的转换

对于(A-B≥x)的式子，我们是从(B)向(A)连边求最长路，而对于(A-B≤x)，则需从(A)向(B)连边求最短路。
有一个要注意的地方，就是一张图你的式子要么全是(A-B≥x)的形式，要么全是(A-B≤x)的形式，不然你就无法用差分约束系统来求解答案了。

那么如果题目中给出多种式子呢？就不能用差分约束系统了吗？

不然，其实我们可以将这些式子全部转化为同一种式子（(A-B≥x)或(A-B≤x)，下面以(A-B≥x)为例）：

• (A=B)：这个式子可以拆成(A≥B)和(B≥A)，再转换一下就变成了(A-B≥0)和(B-A≥0)
• (A≤B)：这个式子可以转换成(B-A≥0)
• (A≥B)：这个式子可以转换成(A-B≥0)
• (A<B)：这个式子可以改写成(A≤B-1)，再转换一下就变成了(B-A≥1)
• (A>B)：这个式子可以改写成(A-1≥B)，再转换一下就变成了(A-B≥1)
• (A-B≤x)：这个式子可以转换成(B-A≥-x)
• (A-B≥x)：这个式子不用转换
• (A-B<x)：这个式子可以改写成(B-A>-x)，再转换一下就变成了(B-A≥1-x)
• (A-B>x)：这个式子可以转换成(A-B≥x+1)

这样，遇到给你一些不等式，请你求出两数之差的最大（最小）值的问题，就可以轻松解决了。

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例题

【洛谷1993】小K的农场

【洛谷3275】[SCOI2011]糖果