[VJ][数论]N对数的排列问题

Posted 2021-01-15 kaike

题意：2n个数字，分别是11,22,33，nn 。 要求1和1之间有一个数字，以此类推，n和n之间有n个数字。问给定n，是否有满足这样的排序

准备知识：

①n对数，共2*n个数。所以要有2*n个位置来放置这2*n个数。②sum()表示求和运算。

正式解决：

①设k（k=1,2,..,n)放置的第一个位置为ak，第二个位置为bk。显然有bk-ak=k+1（假定下一个位置在上一个位置之前）。

那么会有sum(bk-ak)=2+3+4+…+(n+1)=(1+2+3+…+n)+(1+1+…+1)=n*(n+1)/2+n。

②又因为要有2*n个位置来放置这2*n个数。则sum(ak+bk)=1+2+3+…+2*n=(1+2*n)*(2*n)/2=(1+2*n)*n。

③sum(ak+bk)=sum(ak+ak+k+1)=sum(2*ak+bk-ak)=2*sum(ak)+sum(bk-ak)=2*sum(ak)+n*(n+1)/2+n。

④比较②③可得：(1+2*n)n=2*sum(ak)+n(n+1)/2+n。可得sum(ak)=n*(3*n-1)/4。

⑤就像前面已经说过的一样，ak表示数k第一次出现的位置。ak不易确定。当可以肯定的是sum(ak)一定为正整数。

那么就会有n=4*p或者3*n-1=4*p（p为正整数）。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<string>
 6 #include<cstring>
 7 using namespace std;
 8 int main()
 9 {
10     int n;
11     while (cin >> n)
12     {
13         if (n == 0)    break;
14         if (n % 4 == 0 || 3 * (n - 1) % 4 == 0)
15             cout << "Y" << endl;
16         else cout << "N" << endl;
17     }
18 
19     return 0;
20 }

啦啦啦