Luogu3164 CQOI2014 和谐矩阵 异或高斯消元

Posted 2021-01-15 itst

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题意：给出$N,M$，试构造一个$N imes M$的非全$0$矩阵，其中所有格子都满足：它和它上下左右四个格子的权值之和为偶数。$N , M leq 40$

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可以依据题目中的条件列出有$N imes M$的元、$N imes M$个方程的异或方程组（异或方程组就是所有位置都是$1$或$0$，最右边一列的答案需要通过异或互相消除的方程组，一般在$mod,2$意义下产生）。

理论上元和方程组数量一致的时候每一个元都是有唯一解的，但是在有解的情况下，其中一些方程是线性相关的，这意味着消到最后，某一些行会变成全$0$（如果不是很清楚可以像$vegetable chicken$我一样打一波$3 imes 3$和$4 imes 4$的表）。我们可以把行全$0$的元（又称之为自由元）全部设为$1$，因为它们是多少对方程最后有无解没有关系，然后一步步把上面推出来即可。

因为复杂度为$1600^3$平常的高斯消元速度很慢，所以可以用神仙$STL,bitset$优化

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 inline int read(){
 5     int a = 0;
 6     bool f = 0;
 7     char c = getchar();
 8     while(c != EOF && !isdigit(c)){
 9         if(c == ‘-‘)
10             f = 1;
11         c = getchar();
12     }
13     while(c != EOF && isdigit(c)){
14         a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ ‘0‘);
15         c = getchar();
16     }
17     return f ? -a : a;
18 }
19 
20 const int dir[5][2] = {0,1,0,-1,1,0,-1,0,0,0};
21 bitset < 1600 > gauss[1600] , ans;
22 
23 int main(){
24 #ifdef LG
25     freopen("3164.in" , "r" , stdin);
26     freopen("3164.out" , "w" , stdout);
27 #endif
28     int M , N;
29     cin >> M >> N;
30     for(int i = 0 ; i < M ; i++)
31         for(int j = 0 ; j < N ; j++)
32             for(int k = 0 ; k < 5 ; k++)
33                 if(i + dir[k][0] >= 0 && i + dir[k][0] < M && j + dir[k][1] >= 0 && j + dir[k][1] < N)
34                     gauss[i * N + j][(i + dir[k][0]) * N + j + dir[k][1]] = 1;
35     int now = 0;
36     for(int i = 0 ; i < M * N ; i++){
37         int j = now;
38         while(j < M * N && !gauss[j][i])
39             j++;
40         if(j == M * N)
41             continue;
42         if(j != now)
43             swap(gauss[now] , gauss[j]);
44         while(++j < M * N)
45             if(gauss[j][i])
46                 gauss[j] ^= gauss[now];
47         now++;
48     }
49     for(int i = M * N - 1 ; i >= 0 ; i--){
50         if(!gauss[i][i])
51             ans[i] = 1;
52         if(ans[i])
53             for(int j = i - 1 ; j >= 0 ; j--)
54                 if(gauss[j][i])
55                     ans[j] = ans[j] ^ 1;
56     }
57     for(int i = 0 ; i < M ; i++){
58         for(int j = 0 ; j < N ; j++){
59             putchar(ans[i * N + j] + 48);
60             putchar(‘ ‘);
61         }
62         putchar(‘
‘);
63     }
64     return 0;
65 }