数据结构：二叉树

Posted 2021-01-14 yeya

目录

• 什么是二叉树
• 二叉树的性质
• 二叉树的遍历
  • 先序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
• 特殊的二叉树
  • 满二叉树
  • 完全二叉树
• 最后

数据结构分类中有一种很常见的结构，那就是树，树的分类很多种，包括二叉树、二叉搜索树、红黑树、B+树等等，但大多数都是基于二叉树的衍生结构，所以今天来学习下二叉树。

什么是二叉树

定义：二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作 “左子树”（left subtree）和 “右子树”（right subtree），最顶层的节点叫做 "根" 。

逻辑上，二叉树可以分成五种形态，分别是：

1） 空二叉树

2） 只有一个根节点的二叉树

3）只有跟和左子树

4）只有跟和右子树

5）根和左右子树 (完全二叉树)

注：二叉树是递归定义的，也就是理论上每个节点都可以无限延伸二叉树的结构，所以每个节点都有左右子树子分，上面的形态只是一种简单的展示。

二叉树的性质

性质1：二叉树中所有结点的度数均不大于2

性质2：二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)

性质3：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）

性质4：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1

性质5：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

性质4的证明：

(1) 基于性质1，我们知道二叉树的节点度数最多不大于2，所以这里假设n0表示度为0的结点个数， n1表示度为1的结点个数，n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n0+n1+n2

(2) 基于性质1，我们又可以得出，树的总度数为度数0，1，2的度数加上根节点，也就是 n=n0 * 0 + n1 * 1 + n2* 1 + 1

结合上面的（1） 和 （2）的证明就可以得出 n0=n2+1 。

二叉树的遍历

在将二叉树的遍历前，我们需要先实现二叉树，根据二叉树的特点，其包含了节点本身的数据，左子树和右子树，用Java代码可以这样表示

public class Node {

    /* * 一个二叉树包括 数据、左右孩子 三部分 */ 
    private int mData; 
    private Node mLeftChild; 
    private Node mRightChild; 
    
    public Node(int data, Node leftChild, Node rightChild) {
        mData = data;
        mLeftChild = leftChild;
        mRightChild = rightChild;
    }

    public int getData() {
        return mData;
    }

    public void setData(int data) {
        mData = data;
    }

    public Node getLeftChild() {
        return mLeftChild;
    }

    public void setLeftChild(Node leftChild) {
        mLeftChild = leftChild;
    }

    public Node getRightChild() {
        return mRightChild;
    }

    public void setRightChild(Node rightChild) {
        mRightChild = rightChild;
    }
｝

每一个二叉树的节点都可以用 Node 类表示，下面开始讲述其遍历方式。

前面说了，二叉树是一种递归的结构，每个节点都可以有左右子树的结构，而二叉树的遍历也是个递归遍历的过程，使得每个节点有且只有被访问一次。

按照遍历结构的顺序，一般将二叉树的遍历分为三种：

• 先序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历

先序遍历

遍历方式：

• 先访问根节点
• 再先序遍历左子树
• 再先序遍历右子树

代码实现：

public void firstOrder(Node node){
    if (node == null){
        return;
    }
    showData(node);
    firstOrder(node.getLeftChild());
    firstOrder(node.getRightChild());
}

//输出节点数据
public void showData(Node node){
    if (node == null){
        return;
    }
    System.out.println(node.getData());
}

中序遍历

遍历方式：

• 先中序遍历左子树
• 再访问根节点
• 再中序遍历右子树

代码实现：

public void MediumOrder(Node node){
    if (node == null){
        return;
    }
    MediumOrder(node.getLeftChild());
    showData(node);
    MediumOrder(node.getRightChild());
}

后序遍历

遍历方式：

• 先后序遍历左子树
• 再后序遍历右子树
• 最后访问根节点

代码实现：

public void LastOrder(Node node){
    if (node == null){
        return;
    }
    LastOrder(node.getLeftChild());
    LastOrder(node.getRightChild());
    showData(node);
}

以下面的二叉树为例，三种不同的遍历结果为

先序遍历： 1 2 4 5 7 3 6

中序遍历： 4 2 7 5 1 3 6

后序遍历： 4 7 5 2 6 3 1

说完二叉树的基本知识后，下面介绍下二叉树的几种延伸结构。

特殊的二叉树

下面介绍两种特殊的二叉树，分别是满二叉树、完全二叉树。

满二叉树

定义：一颗高度为k，拥有2^k-1 个节点。就是说除了叶子节点，每个节点都有左右子树。

示意图如下：

完全二叉树

完全二叉树跟满二叉树很类似，但有些许不同，需要满足以下的条件：

• 所有叶子节点都出现在 k 或者 k-1 层，而且从 1 到 k-1 层必须达到最大节点数；
• 第 k 层可以不是满的，但是第 k 层的所有节点必须集中在最左边。

给张示意图看下两者的区别：

最后

了解两种特殊的二叉树后，我们来做一道算法题巩固一下。

在笔试过程中经常会见到的，就是问你怎么判断一颗二叉树为完全二叉树？

思路：根据完全二叉树的特点，我们知道最后一层的所有节点都在最左边，因此可以按照这样的思路来解题，那就是：在层序遍历的过程中，找到第一个非满节点。满节点指的是同时拥有左右孩子的节点。在找到第一个非满节点之后，剩下的节点不应该有孩子节点；如果有，那么该二叉树就不是完全二叉树。

根据这样的思路，我们可以借助队列，对完全二叉树做广度遍历的方式，下面展示一下代码实现：

public class CompleteTreeChecker {
   //辅助空间，队列
   private LinkedList<Node> queue = new LinkedList<Node>();
   //第n层最右节点的标志
   private boolean leftMost = false;

   public boolean processChild(Node child) {
      if(child != null) {
         if(!leftMost) {
            queue.addLast(child);
         } else {
            return false;
         }
      } else {
         leftMost = true;
      }
      return true;
   }

   public boolean isCompleteTree(Node root) {
      //空树也是完全二叉树
      if(root == null) return true;

      //首先根节点入队列
      queue.addLast(root);

      while(!queue.isEmpty()) {
         Node node = queue.removeFirst();

         //处理左子结点
         if(!processChild(node.getLeftChild()))
            return false;
         //处理右子结点
         if(!processChild(node.getRightChild()))
            return false;
      }
      //广度优先遍历完毕，此树是完全二叉树
      return true;
   }