UVA - 12716 - 异或序列

Posted 2021-01-14 bluefly-hrbust

 求满足GCD(a,b) = a XOR b; 其中1<=b <=a<=n。  

首先做这道题需要知道几个定理：

  异或：a XOR b = c 那么 a XOR c = b;

   那么我们令GCD（a,b）= c; 这样 a 是  c  倍数。我们可以通过遍历c , 然后通过筛法，把c的倍数晒出当作a。求b如何求呢？

   书上提供一种方法是利用a XOR c=b 用 gcd(a,b)=c 验证。但是这个方法是超时的，gcd是logn 级别的 总的时间复杂度，n*(logn)^2。这是我们不能接受的。

  还有一种方法是证明b=a-c。这个证明还是不容易的 :

      首先gcd(a,b)=c<=a-b 其次要证明a^b>=a-b  但是这是不容易。我们可以这样想，他们什么时候取等于，我们知道异或是相同为0，不同为1 那么 我们把a,b用二进制展开，这样我们a,b是每一位对应的，我们把所以不同的二进制位，全部变为ai = 1，bi = 0。这样我们知道，没有借位 那么a^b == a-b 。那么后面按照XOR序列的顺序变化，a-b变小，那么a^b>=a-b 从而 c=a-b。命题得证。

   证明是否成立，直接用a^b==a-b即可。可以的把，保持在f数组里面，f[i]代表a=i时的情况数。最后求一个前缀和既可以，最后o1查找即可。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const int maxx=30000001;
int f[maxx];
void init(){
    for (int i=1;i<=maxx/2;i++){
        for (int j=2*i;j<=maxx;j+=i){
           int b=j-i;
           if ((j^b)==i){
            f[j]++;
           }
        }
    }
    for (int i=2;i<=maxx;i++){
        f[i]+=f[i-1];
    }
}
int main(){
  int t;
  int n;
  int zz=0;
  scanf("%d",&t);
  int cnt=0;
  int a;
  memset(f,0,sizeof(f));
  init();
  while(t--){
    zz++;
    scanf("%d",&n);
    printf("Case %d: %d
",zz,f[n]);
  }
  return 0;
}