UVA12716 GCD XOR
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了UVA12716 GCD XOR相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题意翻译
输入数据组数t,接下来t行每行给定一个数字n,如样例所示格式输出满足1<=b<=a<=n且gcd(a,b)==a xor b的(a,b)二元组个数。
translated by @AdzearDisjudge
题目描述
输入输出格式
输入格式:
输出格式:
输入输出样例
Solution:
(又来补上博客…)本题应该是一次模拟考试的原题,思路很简单的数学。
我们假设$a>b$,不难得出结论:1、$a;xor; bgeq a-b$ 2、$gcd(a,b)leq a-b$。
先证明结论1:简单点说吧,异或操作可以看成凭空借位直接相减的减法(这里默认较大的数为被减数),比如说某位的运算为$0;xor;1$,并不需要向前一位借$1$而是直接将$0$加上$2$再减$1$得到运算结果为$1$。那么贪心的想到,$a;xor;b$的值一定会大于等于$a-b$的值,因为$a-b$运算时若某位不够减是向前一位借$1$而不是凭空借到$1$,或者理解成异或操作在某位不够减时被减数的该位凭空加上$2$,假设一次异或操作各数位上凭空借了的值的和为$c,cgeq 0$,显然就有$a+c-bgeq a-b$成立了。
再证明结论2:我们由欧几里得算法可知,$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$(该证明过于简单不需赘述),那么显然$a>b$时$gcd(a,b)leq a-b$成立。
于是我们可以直接夹逼,设满足条件的$gcd(a,b)=a;xor;b=x$,则有$a-bleq xleq a-b$,那么显然$x=a-b$。
所以本题算法就出来了:考虑用前缀和统计方案数,直接$1 ightarrow n$枚举每个最大公约数$x$,然后判断相邻的两个$x$的倍数异或值是否为$x$,成立就前缀+1。
时间复杂度调和级数+询问T:$O(nlog n+T)$
代码:
/*Code by 520 -- 10.30*/ #include<bits/stdc++.h> #pragma GCC optimize(2) #define il inline #define ll long long #define RE register #define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) using namespace std; const int N=3e7+5; int s[N],T; int gi(){ int a=0;char x=getchar(); while(x<‘0‘||x>‘9‘) x=getchar(); while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘) a=(a<<3)+(a<<1)+(x^48),x=getchar(); return a; } int main(){ For(g,1,N-1){ for(RE int a=(g<<1),b=g;a<N;a+=g,b+=g) if((a^b)==g) s[a]++; s[g]+=s[g-1]; } T=gi(); For(i,1,T) printf("Case %d: %d ",i,s[gi()]); return 0; }
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