bzoj3170[Tjoi2013]松鼠聚会

Posted 2021-01-13 paul-guderian

3170: [Tjoi2013]松鼠聚会

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Description

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

Input

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5
下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=10^9

Output

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

Sample Input

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

Sample Output

20

HINT

 

Source

 

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题意：N个点，求某一个点到其他点的切比雪夫距离之和最小化；

题解：

        推荐一篇页面比较好讲得很清楚的博客：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8253530.html

        两个点(x1,y1) 和 (x2,y2)

        切比雪夫距离：max(|x1-x2|,|y1-y2|)

        曼哈顿距离：|x1-x2|+|y1-y2|

        先介绍绝对值的两个性质：|a|+|b| = max(|a+b|,|a-b|)  max(|a|,|b|) = |(a+b)/2|+|(a-b)/2|

        可以利用数轴理解一下；

        利用上面的性质可以知道：
        若：(x,y) – > (x-y,x+y) 则新图的切比雪夫距离为原图的曼哈顿距离；

        若：(x,y) – > ((x-y)/2,(x+y)/2) 则新图的曼哈顿距离为原图的切比雪夫距离；

        为什么要转化呢？

        切比雪夫不好处理，转化后对曼哈顿距离分x，y排序，预处理某个值到前面的曼哈顿距离之和，可以做到O(1)查询，此题直接枚举哪个点；

        另外如果最近的点不要求在这些点里面而是平面的任何一个点，分别贪心选取x坐标,y坐标的排序后的中位数，注意切比雪夫转曼哈顿，有可能不是整点，要求整点还需要特判一下；

 

 1  
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6 #include<queue>
 7 #include<cmath>
 8 #include<vector>
 9 #include<stack>
10 #include<map>
11 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
12 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
13 #define ll long long
14 #define inf 0x3f3f3f3f
15 using namespace std;
16 const int N=100010;
17 int n,px[N],py[N];
18 ll upx[N],dnx[N],upy[N],dny[N];
19 struct data{
20     int x,id;
21     bool operator <(const data&A)const{
22         return x<A.x;
23     }
24 }X[N],Y[N];
25 int main(){
26 //  freopen("bzoj3170.in","r",stdin);
27 //  freopen("bzoj3170.out","w",stdout);
28     scanf("%d",&n);
29     for(int i=1;i<=n;i++){
30         int a,b;
31         scanf("%d%d",&a,&b);
32         X[i]=(data){a-b,i};
33         Y[i]=(data){a+b,i};
34     }
35     sort(X+1,X+n+1);
36     sort(Y+1,Y+n+1); 
37     for(int i=1;i<=n;i++){
38         px[X[i].id]=i;
39         py[Y[i].id]=i;      
40     } 
41     ll ans=1e18;
42     for(int i=1;i<=n;i++){
43         upx[i]=upx[i-1]+1ll*(i-1)*(X[i].x-X[i-1].x);
44         upy[i]=upy[i-1]+1ll*(i-1)*(Y[i].x-Y[i-1].x);
45     }
46     for(int i=n;i;i--){
47         dnx[i]=dnx[i+1]+1ll*(n-i)*(X[i+1].x-X[i].x);
48         dny[i]=dny[i+1]+1ll*(n-i)*(Y[i+1].x-Y[i].x);
49     }
50     for(int i=1;i<=n;i++){
51         ans=min(ans,upx[px[i]]+dnx[px[i]]+upy[py[i]]+dny[py[i]]);
52     }
53     printf("%lld
",ans>>1);
54     return 0;
55 }//by tkys_Austin;

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