HDU-4532湫秋系列故事——安排座位

Posted 2021-01-12 pantion

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Problem Description

　　为了给腾讯公司找到更多优秀的人才，HR湫秋最近去某高校组织了一次针对该校所有系的聚会，邀请了每个系的一些优秀学生来参加。

　　作为组织者，湫秋要安排他们的座位。这并不是一件很简单的事情，因为只有一排位置，并且位置总数恰好等于参加聚会的人数。为了促进交流，两个来自相同系的同学不可以座位相邻。湫秋现在希望知道有多少种不同的合理安排座位的方法（任意两个合理的安排方法，只要有一个位置的同学不同，都被认为是不同的）。

Input

输入第一行为T，表示有T组测试数据。
每组数据一个N开始，表示一共有多少个系。下面的一行包含N个整数Ai，表示每个系的到场人数。

[Technical Specification]

1. 1 <= T <= 47
2. 1 <= N, Ai <= 47
3. 1 <= Sum(Ai) <= 447

Output

对每组数据，先输出为第几组数据，然后输出结果。由于结果可能很大，输出对1,000,000,007 取余后的结果。

Sample Input

3
2
1 2
2
1 3
3
1 2 3

Sample Output

Case 1: 2
Case 2: 0
Case 3: 120

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思路：

• 简化题目：这里不同的人有不同的排法，为了简化，把每个系的人当成不同颜色的球，相同色的球无差别，这样计算。最后在乘上一个阶乘。

• 这题直接用数学方法似乎没什么太方便的思路；数据范围又不大，按套路来说，不会是贪心，是计数dp。

• dp的分阶段决策:按颜色顺序，每次将一种颜色的球全部放完。dp要记录当前放到了第i种球，有多少对相邻的同色的球。然后要考虑把当前这种球按什么样的方式放入，会破坏多少对相邻同色球，又增加多少对相邻同色球。

• dp初始状态：dp[1][A[1]-1]=1;dp一维记录到第几组球了,一维记录有多少对同色相邻对.

• 放到第i组球，个数为A[i].枚举分的组数,用隔板法可以先算出分k组时有几种情况.然后枚举有几组是拿去拆掉同色相邻对的,然后组合数一下.注意,对A[i]个分组,是按顺序把这k组插到已有的队列里面的.按顺序插入+隔板相当于枚举各种分组情况的全排列.

• 另外一些小细节,见代码和注释.

AC代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define M 50
#define N 450
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int T,cs,n,x,sum;
int dp[M][N],C[N][N],fac[M];
inline void add(int &x,int y) {
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
}
inline void Input() {
    fac[1]=1;
    for(int i=2; i<M; i++)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=0; i<N; i++) {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1; j<i; j++) {
            add(C[i][j],C[i-1][j]);
            add(C[i][j],C[i-1][j-1]);
        }
    }
}
inline void init() {
    memset(dp,0,sizeof(dp));
}
int main() {
    Input();
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        init();
        scanf("%d%d",&n,&x);
        dp[1][x-1]=1;
        sum=x;
        int mul=fac[x];
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            scanf("%d",&x);
            mul=1ll*fac[x]*mul%mod;
            for(int j=0; j<sum; j++) {//有多少空位,两边是同色的
                if(!dp[i-1][j])continue;
                for(int k=1; k<=x; k++)//分成k组 本来x有x-1个空档，现在只有k-1个空档
                    //说明有(x-1)-(k-1)个空档，左右两边的人是同组的
                    for(int p=0; p<=min(j,k); p++)//选出p组去拆
                        add(dp[i][j-p+x-k],1ll*dp[i-1][j]*C[x-1][k-1]%mod*C[sum+1-j][k-p]%mod*C[j][p]%mod);
            }
            sum+=x;
            //把所有拆分情况按顺序填到空档中，可以涵盖所有空档中填的球的不同个数的情况 
        }
        dp[n][0]=1ll*dp[n][0]*mul%mod;//先看做没有区别的球，最后乘排列 
        printf("Case %d: %d
",++cs,dp[n][0]);
    }
    return 0;
}