luogu1966 火柴排队

Posted 2021-01-12 headboy2002

题目大意

　　涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为： $sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2$，其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。 每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

题解

预备知识

• 因为任何a火柴的交换效果都与b交换火柴相同，所以我们只让b火柴移动。
• 通过邻项交换的方法，我们可以得到一个序列的任意一个排列。

贪心

　　我们让序列$b$序列变换后的结果序列称为$b‘$。那么对$forall i$，$a_i$在$a$中的大小排名与$b‘_i$在$b‘$中的相同。

　　证明为邻项交换。如果$a_1$与$b_1$配对，$a_2$与$b_2$配对，$a_1leq a_2, b_1 leq b_2$，则这样得到的结果，比$a_1$和$b_2$、$a_2$和$b_1$配对得到的结果小。为了表示方便，我们令$x=a_1,y=b_1,a_2=x+k,b_2=y+t$，则前者的结果为$$(x-y)^2+(x+k-b-t)^2$$，后者结果为$$(a-b-t)^2+(a+k-b)^2$$。后者减去前者得到的结果为$$2kt$$，恒大于0。故原命题成立。

如何得到$b‘$?

　　$b‘$的要求是如果将$a$排序的变换为$f(a)$，则$f(b‘)$得到的序列也是递增的。也就是说，我们要得到$b‘$，要先将$b$排序得到$b‘‘$，随后$f^{-1}(b‘‘)=b‘$。那么达到$f^{-1}$的方法便是将$a$排序后的rank为下标，原来的id为值得到一个数组，随后将每个$b‘‘$移到对应的id位置去即可。

那么要交换多少次呢？

　　即为逆序对数。用树状数组解决即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
const int MAX_N = 100010;
const ll P = 99999997;
int N;
int NewId_OrgId[MAX_N];

struct BIT
{
private:
    ll C[MAX_N];

    int Lowbit(int x)
    {
        return x & -x;
    }

public:
    void Update(int p, ll delta)
    {
        while (p <= N)
        {
            C[p] += delta;
            p += Lowbit(p);
        }
    }

    ll Query(int p)
    {
        ll ans = 0;
        while (p > 0)
        {
            ans += C[p];
            p -= Lowbit(p);
        }
        return ans;
    }
}g;

struct Node
{
    int Id, Val;

    bool operator < (const Node &a) const
    {
        return Val < a.Val;
    }
}A[MAX_N], B[MAX_N], B1[MAX_N];

int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        A[i].Id = B[i].Id = i;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &A[i].Val);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &B[i].Val);
    sort(A + 1, A + N + 1);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        NewId_OrgId[i] = A[i].Id;
    sort(B + 1, B + N + 1);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        B1[NewId_OrgId[i]] = B[i];
    ll ans = 0;
    for (int i = N; i >= 1; i--)
    {
        ans = (ans + g.Query(B1[i].Id - 1)) % P;
        g.Update(B1[i].Id, 1);
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}