P1313 计算系数

Posted 2021-01-11 garen-wang

数学很重要！！

dalao们扫这道题就说“二项式定理”。二项式定理是这个东西：

[(x+y)^n=sum_{i=0}^{n}{C_n^i x^i y^{n-i}}]

应该没打错。真的没打错。

二项式定理当然不仅只满足于这些变量系数只为1的，只要系数扔进变量里面一起去乘方就可以了。

那么如何解决这道题？

其实答案就是这个东西（大胆猜想，打表证明）：

[C_k^n imes a^n imes b^m]

上面的组合数可以换成(C_k^m)，意义相同。因为(n+m=k)。

如何算得组合数？简单点的话你可以通过杨辉三角来(O(k^2))的来边递推边取膜得到。

或者你可以像我这样，通过预处理阶乘，通过组合数的定义式(C_m^n=frac{m!}{n!(m-n)!})来得到。

注意：膜意义下没有除法，所以你要算乘法逆元。用费马小定理就能算出来了。

然后中间过程可能爆int，直接开long long，不用龟速乘，用快速幂就能够搞出来了。

讲道理我一点题解都没看。

代码：

#include<cstdio>

const int maxn = 1005;
const int mod = 10007;
#define ll long long
ll a, b, k, n, m;
ll frac[maxn];
ll pow_mod(ll x, ll y, ll z)
{
    ll ans = 1, base = x;
    while(y)
    {
        if(y & 1) ans = ans * base % z;
        base = base * base % z;
        y >>= 1;
    }
    return ans % z;
}
ll inv(ll x, ll p)
{
    return pow_mod(x, p - 2, p);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &k, &n, &m);
    frac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= k; i++) frac[i] = frac[i - 1] * i % mod;
    ll zuheshu = frac[k] * inv(frac[n], mod) % mod * inv(frac[k - n], mod) % mod;
    ll a_n = pow_mod(a, n, mod);
    ll b_m = pow_mod(b, m, mod);
    ll ans = zuheshu * a_n % mod * b_m % mod;
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}