CF438E The Child and Binary Tree（生成函数+多项式开根+多项式求逆）

Posted 2021-01-10 bztminamoto

传送门

 

可以……这很多项式开根模板……而且也完全不知道大佬们怎么把这题的式子推出来的……

首先，这题需要多项式开根和多项式求逆。多项式求逆看这里->这里，这里讲一讲多项式开根

多项式开方：已知多项式$A$，求多项式$B$满足$A^2equiv Bpmod{x^n}$（和多项式求逆一样这里需要取模，否则$A$可能会有无数项）

假设我们已经求出$A‘^2equiv Bpmod{x^n}$，考虑如何计算出$A^2equiv Bpmod{x^{2n}}$

首先肯定存在$A^2equiv Bpmod{x^n}$

然后两式相减$$A‘^2-A^2equiv 0pmod{x^n}$$

$$(A‘-A)(A‘+A)equiv 0pmod{x^n}$$

我们假设$A‘-Aequiv 0pmod{x^n}$，然后两边平方$$A‘^2-2A‘A+A^2equiv 0pmod{x^{2n}}$$

（关于平方之后模数变化的原因可以看我多项式求逆那篇文章，里面有写）

又因为$A^2equiv Bpmod{x^{2n}}$，代入得$$A‘^2-2A‘A+Bequiv 0pmod{x^{2n}}$$

$$Aequivfrac{A‘^2-B}{2A‘}pmod{x^{2n}}$$

那么这个只要递归计算就可以了

然后多项式开方就讲到这里

下面说一下本题的做法

首先，我也不知道怎么想到的构造出生成函数，$C=sum_{i=1}^{lim}s_ix^i$，其中$s_i$表示$i$是否在集合中出现过，然后再设一个$F_k$表示权值为$k$时的答案

因为一棵二叉树可以由根节点，左右子树构成（左右子树可以是空的）

那么存在如下关系$$F_k=1+sum_{i=1}^ks_isum_{j=0}^{k-i}F_jF_{i-j-k}$$

然后我也不知道怎么看出来的发现这是一个卷积的形式，即$$F=1+C*F*F$$（这里$*$是多项式乘法）

把它看做一个一元二次方程求解，得$$F=frac{1pm sqrt{1-4C}}{2C}=frac{2}{1pmsqrt{1-4C}}$$

然后因为$F_0=1,C_0=0$，所以符号取正，即$$F=frac{2}{1+sqrt{1-4C}}$$

那么把多项式开根和多项式求逆的板子带进去就好了

 1 //minamoto
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
 6 #define mul(x,y) (1ll*x*y%P)
 7 #define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
 8 #define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y)
 9 using namespace std;
10 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
11 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
12 inline int read(){
13     #define num ch-‘0‘
14     char ch;bool flag=0;int res;
15     while(!isdigit(ch=getc()))
16     (ch==‘-‘)&&(flag=true);
17     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
18     (flag)&&(res=-res);
19     #undef num
20     return res;
21 }
22 char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z;
23 inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}
24 inline void print(int x){
25     if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]=45,x=-x;
26     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
27     while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]=‘
‘;
28 }
29 const int N=500005,P=998244353,G=3,inv2=499122177;
30 inline int ksm(int a,int b){
31     int res=1;
32     while(b){
33         if(b&1) res=mul(res,a);
34         a=mul(a,a),b>>=1;
35     }
36     return res;
37 }
38 int n,m,r[N],A[N],B[N],C[N],D[N],O[N],d[N],c[N];
39 void NTT(int *A,int type,int len){
40     int limit=1,l=0;
41     while(limit<len) limit<<=1,++l;
42     for(int i=0;i<limit;++i)
43     r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
44     for(int i=0;i<limit;++i)
45     if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
46     for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
47         int R=mid<<1,Wn=ksm(G,(P-1)/R);O[0]=1;
48         for(int j=1;j<mid;++j) O[j]=mul(O[j-1],Wn);
49         for(int j=0;j<limit;j+=R){
50             for(int k=0;k<mid;++k){
51                 int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
52                 A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
53             }
54         }
55     }
56     if(type==-1){
57         reverse(A+1,A+limit);
58         for(int i=0,inv=ksm(limit,P-2);i<limit;++i)
59         A[i]=mul(A[i],inv);
60     }
61 }
62 void Inv(int *a,int *b,int len){
63     if(len==1) return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2));
64     Inv(a,b,len>>1);
65     for(int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
66     NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1);
67     for(int i=0,l=(len<<1);i<l;++i) A[i]=mul(mul(A[i],B[i]),B[i]);
68     NTT(A,-1,len<<1);
69     for(int i=0;i<len;++i) b[i]=dec(1ll*(b[i]<<1)%P,A[i]);
70     for(int i=0,l=(len<<1);i<l;++i) A[i]=B[i]=0;
71 }
72 void Sqrt(int *a,int *b,int len){
73     if(len==1) return (void)(b[0]=a[0]);
74     Sqrt(a,b,len>>1);
75     for(int i=0;i<len;++i) C[i]=a[i];
76     Inv(b,D,len);
77     NTT(C,1,len<<1),NTT(D,1,len<<1);
78     for(int i=0,l=len<<1;i<l;++i) D[i]=mul(D[i],C[i]);
79     NTT(D,-1,len<<1);
80     for(int i=0;i<len;++i) b[i]=mul(add(b[i],D[i]),inv2);
81     for(int i=0,l=(len<<1);i<l;++i) C[i]=D[i]=0;
82 }
83 int main(){
84 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
85     n=read(),m=read();
86     for(int i=1,x;i<=n;++i) x=read(),++d[x];
87     int len;for(len=1;len<=m;len<<=1);
88     for(int i=1;i<len;++i) d[i]=(-4*d[i]+P)%P;
89     ++d[0];
90     Sqrt(d,c,len);
91     for(int i=0;i<len;++i) d[i]=0;
92     c[0]=add(c[0],1);
93     Inv(c,d,len);
94     for(int i=0;i<=m;++i) d[i]=add(d[i],d[i]);
95     for(int i=1;i<=m;++i) print(d[i]);
96     Ot();
97     return 0;
98 }