[SCOI2010]生成字符串

Posted 2021-01-10 liguanlin1124

题目大意：给出n个‘1’，m个‘0’，求用这些组成的串中，满足“前k个字符中1数不小于0数”的串的个数。（对20100403取模）

同学互测题出了原题，当时蒙蔽。除了一眼看出的dp:dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ] + dp[ i ][ j-1 ];

然后就是持续蒙蔽。。。

最后同学讲题，讲了一个非常nb的构造算法：

将串想象成一个巨大的表格中的一条折线，其中1代表45度向上，0代表45度向下。

要控制1>=0，只需要控制这条线保持在第一象限。

怎么计算不合法情况呢？我们只需要将折线的一部分对称下来，形成一条从( -2 , 0 )到终点的折线，此时有映射。

（下面是结论：）

ans = C( n , n+m ) - C( n+1 ， n+m);

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 20100403
#define ll long long
#define N 1000050
ll n,m;
ll ny[N<<1],jc[N<<1],jny[N<<1];
void init()
{
    jc[0]=jc[1]=ny[1]=jny[0]=jny[1]=1;
    for(ll i=2;i<=n+m;i++)
    {
        ny[i]=((MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD+MOD)%MOD;
        jc[i]=(jc[i-1]*i)%MOD;
        jny[i]=(jny[i-1]*ny[i])%MOD;
    }
}
ll C(ll a,ll b)
{
    ll ret = jc[b];
    ret = (ret * jny[a])%MOD;
    ret = (ret * jny[b-a])%MOD;
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    init();
    ll ans = ((C(n,n+m)-C(n+1,n+m))%MOD+MOD)%MOD;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}