并查集详解

Posted 2021-01-10 izayoi

先上维基百科

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题

有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个用于此数据结构的操作

• Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
• Union：将两个子集合并成同一个集合。

我们用一个整型数组upPoint来保存这个树型的数据结构

再将Find与Union操作用Find与Union函数实现

1 int upPoint[2000]
2 
3 int Find(int x){
4 }
5 
6 void Union(int x , int y){
7 }

 

了解了大致框架后，再来看看实现原理

在我学习的时候看到了一篇写得图文并茂、通俗易懂的博文，转载于此：原文地址

 

　　话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

　　下面我们来看并查集的实现。 int upPoint[2000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），upPoint[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 Find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了。

 1 int upPoint[2000]
 2 
 3 int Find(int x){//查找x的掌门是谁
 4     int next_x = x;//委托next_x去找掌门
 5     while(next_x != upPoint[next_x]){//若下一个人next_x的上级不是自己（即next_x不是掌门）
 6         next_x = upPoint[next_x];//那就让next_x委托自己的上级接着找，直到找到掌门为止
 7     }
 8     return next_x; //这样最后一个人就一定是掌门了
 9 }
10 
11 void Union(int x , int y){
12 }

　　再来看看Union函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个upPoint[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？

 1 int upPoint[2000]
 2 
 3 int Find(int x){//查找x的掌门是谁
 4     int next_x = x;//委托next_x去找掌门
 5     while(next_x != upPoint[next_x]){//若下一个人next_x的上级不是自己（即next_x不是掌门）
 6         next_x = upPoint[next_x];//那就让next_x委托自己的上级接着找，直到找到掌门为止
 7     }
 8     return next_x; //这样最后一个人就一定是掌门了
 9 }
10 
11 void Union(int x , int y){//x与y试图成为朋友
12     int xBoss=Find(x) , yBoss=Find(y);//那得先让各自的掌门同意
13     if(xBoss != yBoss){//若两人本就不在同一个门派
14         upPoint(xBoss) = yBoss;//那就只有委屈xBoss做了yBoss的手下啦，这样才能合并门派嘛
15     }
16 }

　　再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用Union函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是自己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其实我们的掌门是曹公公。不如我们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。

 1 int upPoint[2000]
 2 
 3 int Find(int x){//查找x的掌门是谁
 4     int next_x = x;//委托next_x去找掌门
 5     while(next_x != upPoint[next_x]){//若下一个人next_x的上级不是自己（即next_x不是掌门）
 6         next_x = upPoint[next_x];//那就让next_x委托自己的上级接着找，直到找到掌门为止
 7     }
 8     int boss = next_x;//这样最后一个人就一定是掌门了
 9 //路径压缩的优化代码begin
10     int someone = x , tempUpPoint;//定义任意一人与他目前的上级
11     while(someone != boss){//在遇到真正的掌门之前，将查找过的所有人的上级改为掌门
12         tempUpPoint = upPoint[someone];//先保存这个人目前的上级
13         upPoint[someone] = boss;//修改上级为掌门
14         someone = tempUpPoint;//这个人原先的上级准备接受检查
15     }
16 //路径压缩的优化代码end
17     return boss;//掌门驾到
18 }
19 
20 void Union(int x , int y){//x与y试图成为朋友
21     int xBoss=Find(x) , yBoss=Find(y);//那得先让各自的掌门同意
22     if(xBoss != yBoss){//若两人本就不在同一个门派
23         upPoint(xBoss) = yBoss;//那就只有委屈xBoss做了yBoss的手下啦，这样才能合并门派嘛
24     }
25 }