详解并查集

Posted 2022-08-26 小倪同学 -_-

文章目录

• 并查集原理
• 并查集实现
• 并查集应用

并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。

示例：
工作时将10人分配成3个组，第一组 s1=0,6,7,8 ，第二组 s2=1,4,9，第三组 s3=2,3,5 ，这三个组分别以0,1,2当组长。

集合的树形表示

集合s1，s2，s3的森林父指针数组表示

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。

仔细观察数组可得出如下结论

1. 数组的下标对应集合中元素的编号
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

由于第一组的任务太重，把第三组安排到第一组中，情况如下

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个组。

通过以上述示例可知，并查集一般可以解决以下问题

1. 查找元素属于哪个集合

沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)

2. 查看两个元素是否属于同一个集合

沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在

3. 将两个集合归并成一个集合

先将两个集合中的元素合并，再将一个集合名称改成另一个集合的名称

4. 集合的个数

遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

并查集实现

class UnionFindSet

public:
	// 初始时，将数组中元素全部设置为1
	UnionFindSet(size_t n)
		:_ufs(n, -1)
	

	
	void Union(int x1, int x2)
	
		int root1 = FindRoot(x1);
		int root2 = FindRoot(x2);

		// 本身在一个集合就没必要合并了
		if (root1 == root2) return;

		// 数量多的合并数量少的
		if (root1 > root2)
			swap(root1, root2);

		// 将两个集合中元素合并
		_ufs[root1] += _ufs[root2];
		// 将其中一个集合名称改变成另外一个
		_ufs[root2] = root1;
	

	// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称
	int FindRoot(int x)
	
		// 如果数组中存储的是负数，找到，否则一直继续
		int root = x;
		while (_ufs[root] >= 0)
		
			root = _ufs[root];
		

		// 路径压缩
		while (_ufs[x] >= 0)
		
			int parent = _ufs[x];
			_ufs[x] = root;

			x = parent;
		

		return root;
	

	bool InSet(int x1, int x2)
	
		return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);
	

	// 数组中负数的个数，即为集合的个数
	size_t SetSize()
	
		size_t size = 0;
		for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); i++)
		
			if (_ufs[i] < 0)
			
				++size;
			
		

		return size;
	
private:
	vector<int> _ufs;
;

并查集应用

1. 省份数量

class Solution 
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) 
        vector<int> ufs(isConnected.size(),-1);
        auto findRoot=[&ufs](int x)
        
            while(ufs[x]>=0) x=ufs[x];

            return x;
        ;

        for(size_t i=0;i<isConnected.size();i++)
        
            for(size_t j=0;j<isConnected[0].size();j++)
            
                if(isConnected[i][j]==1)
                
                    // 合并集合
                    int root1=findRoot(i);
                    int root2=findRoot(j);
                    if(root1!=root2)
                    
                        ufs[root1]+=ufs[root2];
                        ufs[root2]=root1;
                    
                
            
        

        int n=0;
        for(auto e:ufs)
        
            if(e<0) n++;
        
        return n;
    
;

2. 等式方程的可满足性

class Solution 
public:
    bool equationsPossible(vector<string>& equations) 
        vector<int> ufs(26,-1);
        auto findRoot=[&ufs](int x)
        
            while(ufs[x]>=0)
            
                x=ufs[x];
            
            return x;
        ;

        // 把相等的值加到一个集合
        for(auto& str:equations)
        
            if(str[1]=='=')
            
                int root1=findRoot(str[0]-'a');
                int root2=findRoot(str[3]-'a');
                if(root1!=root2)
                
                    ufs[root1]+=ufs[root2];
                    ufs[root2]=root1;
                
            
        

        // 不相等的值在一个集合就相悖
        for(auto& str:equations)
        
            if(str[1]=='!')
            
                int root1=findRoot(str[0]-'a');
                int root2=findRoot(str[3]-'a');
                if(root1==root2) return false;
            
        
        return true;
    
;