RMQ原理及实现

Posted 2021-01-10 fan-jiaming

　　RMQ（Range Minimum/Maximum Query），区间最值查询问题，是指：对于长度为n的数列A，回答若干次询问RMQ(i,j)，返回数列A中下标在区间[i,j]中的最小/大值。

　　这里介绍Tarjan的Sparse-Table算法，预处理时间为O(nlogn)，但查询只需要O(1)，并且常数很小，算法也很容易写出。

　1）预处理：

　　设A[i]是要求区间最值的数列，d[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最小值。（DP的状态）

　　显然d[i][0]的值就是A[i]（DP初值），我们把d[i，j]平均分成两段（因为d[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。于是我们得到了状态转移方程d[i, j]=min（d[i，j-1], d[i + 2^(j-1)，j-1]），代码实现如下（这里使用lrj蓝书代码）：

1 void RMQ_init(const vector<int> &A) {
2     int n = A.size();
3     for(int i = 0; i < n; ++i) d[i][0] = A[i];
4     for(int j = 1; (1 << j) <= n; ++j) 
5         for(int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; ++i) 
6             d[i][j] = min(d[i][j - 1], d[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
7 }

2）查询：

　　假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询1，2，3，4，5，5不是2的任意次方，但我们可以查询1234和2345）。

　　这个查询长度我们取范围小于等于区间长度的最大（2^k），这样我们查询i到 i +（2^k）与j - (2^k) + 1到j的值，取二者最小值即可，代码实现如下：

1 int RMQ(int L, int R) {
2     int k = 0;
3     while((1 << (k + 1)) <= R - L + 1) ++k;
4     return min(d[L][k], d[R - (1 << k) + 1][k]);
5 }