RMQ问题(ST算法)

Posted 2021-03-14

RMQ是询问某个区间内的最大值或最小值的问题,ST算法可以求解RMQ问题.ST算法通常用在要 多次询问某一些区间的问题中,相比于线段树,它的程序实现更加简单,运行速度更快,它可以做到O(nlogn)的预处理,O(1)回答每个问题.使用ST算法的条件是没有修改操作,因此它适用于没有修改操作并且访问次数较多(10^6级别甚至更大)的情况.

1.预处理

ST算法的原理实际上是动态规划,首先要知道f数组的含义,f[i][j]中i表示左边端点,j表示2^j个长度, 因此f[i,j]表示的是区间为[i,i+2^j-1]这个范围内的最大值,也就是以a[i]为起点连续的2^j个数的最大值.由于元素个数为2^j个,所以从中间平均分成两部分,每一部分的个数都为2^(j-1);假设f[6][3]分为f[6][2]和f[10][2],如下图所示,

整个区间的最大值一定是左右两部分最大值的较大者,满足动态规划的最优化原理,分析得f数组的状态转移方程为f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1]).

for(int j = 1;(1<<j) <= n;++j) //j枚举每一个可能出现的长度 
    for(int i = 1;i + (1<<j)-1 <= n;i++)  //i枚举每一个区间的左端点 
    f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

2.询问

当要访问区间[L,R]的最大值,需要知道区间的长度len,mn数组存放的是小于等于一定长度len的最大的2的幂次,若要访问区间[5,10]的最大值,则要先计算出men[len]的值,那么区间[5,10]=[5,8]U[7,10].

代码实现

//对于一定长度的区间len,mn[len]表示小于等于len的最大的2的幂次 
   for(int len = 1;len <= n;++len)
   {
     int k = 0;
     while(1<<(k+1) <= len)
     k++;
     mn[len] = k;
   }

3.求区间[x,y]最大值

int k = mn[R - L + 1];
ans = max(f[L][k],f[R-(1<<k)+1][k]);

代码实现

---

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5; 
int f[maxn][25];
int mn[maxn];
int a[maxn];
int m,n;
void rmq_init()
{
  //初始化所有长度为1的区间的最大值 
  for(int i = 1;i <= n;i++)    
  f[i][0] = a[i];

  for(int j = 1;(1<<j) <= n;++j) //j枚举每一个可能出现的长度 
    for(int i = 1;i + (1<<j)-1 <= n;i++)  //i枚举每一个区间的左端点 
    f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

  //对于一定长度的区间len,mn[len]表示小于等于len的最大的2的幂次 
   for(int len = 1;len <= n;++len)
   {
     int k = 0;
     while(1<<(k+1) <= len)
     k++;
     mn[len] = k;
   }
}
 int rmq(int L,int R)
{
   int s = mn[R-L+1];
  int ans = max(f[L][s],f[R - (1<<s) + 1][s]);
  return ans;
 }
int main()
{
  cin>>n;
  for(int i = 1;i <= n;i++)
  cin>>a[i];
  rmq_init();
  int L,R;
  cin>>m;
  for(int i = 1;i <= m;i++)
  {
    cin>>L>>R;
    cout<<rmq(L,R)<<endl;
  }
  return 0;
 }

结果截图