LightOJ 1236 Pairs Forming LCM（算数基本定理）

Posted 2021-01-10 fy1999

 

^{题意：在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 1014),有多少组(a,b)  (a<b)满足lcm(a,b)==n;}

 

先来看个知识点：

素因子分解：n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en

for i in range(1,n):

        ei 从0取到ei的所有组合

必能包含所有n的因子。

现在取n的两个因子a,b

a=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 *..........*pn ^ an

b=p1 ^ b1 * p2 ^ b2 *..........*pn ^ bn

gcd(a,b)=p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^ min(a2,b2) *..........*pn ^ min(an,bn)

lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)

哈哈，又多了种求gcd,lcm的方法。

 

题解：

先对n素因子分解，n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pk ^ ek，

lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pk ^ max(ak,bk)

所以，当lcm(a,b)==n时，max(a1,b1)==e1,max(a2,b2)==e2,…max(ak,bk)==ek

当ai == ei时，bi可取 [0, ei] 中的所有数  有 ei+1 种情况，bi==ei时同理。

那么就有2(ei+1)种取法,但是当ai = bi = ei 时有重复，所以取法数为2(ei+1)-1=2*ei+1。
除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次  那么满足a<=b的有 (2*ei + 1)) / 2 + 1 个

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=1e6+10;
const int maxm=1e7+5;

bool isprime[maxm];
int prime[maxn];
int cnt=0;

void is_prime()
{
    cnt=0;
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    for(int i=2;i<maxm;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<maxm;j+=i)
            {
                isprime[j]=1;
            }
        }
    }
}


long long n;
int T;

int main()
{
    cin>>T;
    is_prime();
    for(int k=1;k<=T;k++)
    {
        cin>>n;
        int ans=1;
        for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
        {
            if(n%prime[i]==0)
            {
                int e=0;
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    e++;
                    n/=prime[i];
                }
                if(e) ans*=(e*2+1);
            }

        }
        if(n>1) ans*=3;
 printf("Case %d: %d
",k,(ans+1)/2);    }
    return 0;
}