1236 - Pairs Forming LCM

Posted 2020-10-11 缄默。

1236 - Pairs Forming LCM

 

Find the result of the following code:

long long pairsFormLCM( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        for( int j = i; j <= n; j++ )
           if( lcm(i, j) == n ) res++; // lcm means least common multiple
    return res;
}

A straight forward implementation of the code may time out. If you analyze the code, you will find that the code actually counts the number of pairs (i, j) for which lcm(i, j) = n and (i ≤ j).

Input

Input starts with an integer T (≤ 200), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 10¹⁴).

Output

For each case, print the case number and the value returned by the function ‘pairsFormLCM(n)‘

 

 

分析：题意1到n中存在多少对（a，b）满足lcm(a, b)==n。

n 是a, b的所有素因子取在a, b中较大指数的积。

将n进行素因子分解 n=a1^p1*a2^p2*...*am^pm(a1,a2,...,am均为质数)，先不考虑a， b的大小，如果在a中因子a1取p1个，那么在b中a1可以取(pi-1,pi-2,...,0)个，反之一样，再加上a1在a，b中都是取p1个，所以每个素因子对应2*pi+1中情况。所以总数为 sigma(2*pi+1)/2。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7+5;

int prim[maxn/10] ;
int k;
int vis[maxn];

void init() //线性筛
{
k = 0;
for(int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if(!vis[i]) prim[k++] = i;
for(int j = 0; j < k && prim[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prim[j] * i] = 1;
if(i % prim[j] == 0) break;
}
}
}
int main(void)
{
int T, cas;
ll n;

scanf("%d", &T);

cas = 0;
init();

while(T--)
{
cas++;

scanf("%lld", &n);
ll ans = 1;

for(int i = 0; i < k; i++)
{
ll x = 0;

if((ll)(prim[i]) * prim[i] > n)
break;

while(n % prim[i] == 0)
{
x++;
n /= prim[i];
}
if(x)
ans *= 2 * x + 1;
}
if(n > 1)///n>1表示最后还剩一个素因子，比如6,20，并且这个素因子的平方大于n，再循环中没有处理。剩余最后一个因子按分析中的方法它对应三种取法，所以最后乘在ans上。
ans *= 3;

printf("Case %d: %lld\n", cas, ans / 2 + 1);

}

return 0;

}