2018.10.3万圣节的入场券

Posted 2021-01-10 scx2015noip-as-php

题目描述

[万圣节Party开始前……]

万圣节到了，LazyJazz要办一个大Party（Communist Party）！

于是LazyJazz邀请了同学朋友，远近亲戚共计 n 人，每人发了一张Party入场券。

可是到了万圣节这一天，不知怎的来了 $n+1$ 个人（果然是鬼节），而且每人手里都拿了一张入场券，这让LazyJazz十分头疼。

好在当时发入场券时，每张券上都印了一个验证码。真的入场券的验证码由一个固定合数 $x$ 乘上一个两两入场券互不相同的质数 $p_i$ 得到。

于是LazyJazz一一检视了所有人的验证码，发现了一个另类（即不满足除 x 的商为一个质数），于是保安把这个好学生恐怖分子拖了出去。

LazyJazz觉得这是很有意思，决定把他看到的所有验证码告诉你，让你猜猜哪个验证码是假的。

输入格式

第一行，一个正整数 $n (9<n)$，表示正常应到人数。

第二行，包含 $n+1$ 个用空格隔开的正整数 $Ai$，表示实际到场的 $n+1$ 个人手里的入场券上的验证码。

输入数据保证只有一个“另类”验证码，且可以判断出来。

输出格式

一个正整数，表示假的验证码。

样例

input

10
12 76 92 116 87 44 8 20 68 28 52

output

87

限制与约定

对于 30% 的数据，保证 n≤100, x≤100

对于 60% 的数据，保证 n≤1000

对于 100% 的数据，保证 n≤100000, x≤100000, pi≤1500000

输入数据保证只有一个“另类”验证码，且可以判断出来

时间限制：1s

空间限制：256MB

 

---

 

回来想了一下这题，感觉没有极端数据，有些细节没有考虑到就A了。

 

做题前置条件：

1.输入总共有 n+1 个数，别少输一个……

1.题目保证验证码乘的质数两两不相同，且数据保证只有一个不合法的验证码且可以判断出来，所以不可能存在两个相同的验证码（因为两个相同的验证码乘的质数不相同，那么乘的合数也不相同，所以两数中有一个数不合法，但不能判断出来是哪一个）。

3.题目只保证了合法的数不会超过 100000*1500000，开个 long long 完事，但没有保证那个不合法的数的大小（也就是说正常情况下应该特判输入！），不过Lazyjazz可能忘了这根筋了……没有爆 long long 的数。

4.数据保证$p_i leq 1500000$，所以一个数除以公共合数后，如果超过这个上限，不管是不是素数都不合法，输出它即可。

 

算法一

由于 x 比较小，你可以暴力枚举 x （当然是个合数）的值，然后再一个一个判断是否能正好甄别出一个“另类”的数，然后输出就好了

总时间复杂度取决于你判断素数的方法的复杂度，大概在O(n2⋅x)−O(n⋅x)之间

期望得分：30分。

算法二

个人感觉Lazyjazz的讲解有问题，这里不放了（可能卡掉的数据：2 6 9 15 21 33）

时间复杂度：O(n2logn)

期望得分：60分

算法三

　　可以发现，任意两个数都等于 一个公共合数 * 不同的素数，那公共合数就是它们的GCD（因为GCD就是两数的最大公因子，两数除以GCD后互素），那么这两个数都除以这个合数后，都应该是素数。

　　题目保证了只有一个不合法的数，所以对于剩下$n$个数而言，它们的公共合数只能是它们的GCD，因为只有这样每个数除以这个公共合数后才互素，才可能都是素数（如果两数不互质那至少有个数不是质数）。

　　所以我们可以枚举所有相邻的两个数，每次求出它们的GCD作为候选 x 值，找出一个出现次数最多的候选 x，可以证明这就是所有数的公共合数。

　　在两种情况下某个数是不合法的：

　　　　1.不合法的那个数与左右两数的GCD与其它对GCD都不相同（与左右两数的GCD之间可能相同）。那么找出这个错误的非大众GCD即可。

　　　　2.所有对数的GCD都相同，或只有一对数的GCD与其它对GCD都不相同 且 这个GCD对应的数对不在两端（我原来的AC代码没考虑这一点，数据可能没卡，但这样一组数据就只有一个GCD与其它的都不相同：4 6 20 10 14。可以证明，这个不合法的数是它相邻的某个数的倍数 或者是1，所以它是后边提到的非素数），这时会有一个数除以这个合数后不是素数（为什么不直接说是合数？因为1不是素数，但它也不是合数）或大于1500000，那它就是不合法的。当然，只有一个GCD不相同时，不合法的数只可能是这个GCD所对应的相邻两个数中的一个咯。

　　　　3.只有一对数的GCD与其它对GCD都不相同 且 这个GCD对应的数对在两端，那么特判两端的GCD对应的总共4个数是否合法即可。

　　综上，最多有两个GCD不是正确的公共合数。因此可以进一步优化枚举，只需要求出前6个数的5对GCD，正确的GCD出现次数一定最多（至少3次），因此就可以快速揪出来正确的公共合数了。

时间复杂度：O(nlogn)

期望得分：100分

 　　另外，这题其实可以用一个看似暴力的做法写：考虑到一个合法的数等于 一个公共合数 * 一个素数，把所有验证码从小到大排序，然后把最小的数分解质因数，如果最小的数除以其一个质因子是合数且不超过100000，它才是一种可能的公共合数。用这个公共合数除其它的每个数，如果只有一个数被除后不是整数或不是素数或大于1500000，那这个数就是不合法的数。如果所有的公共因子都不能找出不合法的数，它自己就是不合法的数。（GDC的做法）

　　时间复杂度：O(nlogAi)

　　期望得分：100分

---

 

另外，今天的T2（万圣节的积木）是一道Lazyjazz神爷弱化掉了的自创题，去掉了最后5分的数据，原题最后5分的知识的难度跟前95分完全不在一个级别上，前95分难度大概在NOIP提高组水平，后5分难度大于国家集训队水平，是一道防AK神题。考虑到Lazyjazz要出售这题，为了保护版权，T2不公开（机房可能有人在luogu存题了，但那最多是今天做的95分难度代码，原题的最后5分连std都还没写过 而且题解很难看懂的）。