2016 NEERC, Northern Subregional Contest G.Gangsters in Central City（LCA）

Posted 2021-01-10 orangee

G.Gangsters in Central City

题意：一棵树，节点1为根，是水源。水顺着边流至叶子。该树的每个叶子上有房子。有q个询问，一种为房子u被强盗入侵，另一种为强盗撤离房子u。对于每个询问，要求给出最小的阀门数来阻断水流向强盗所在房子，且在阀门数最小的情况下求最小的误伤房子数（即没被入侵却被断水的房子）。
思路：观察可发现，与根相连的子树都是独立的，因此有每有一颗这样的子树里有强盗，则ans1++，每有一颗这样的子树强盗全部撤离则ans1--；因此要维护的是误伤数ans2，我们对每一个与根相连的子树独立处理。要想最小化ans2，那阀门一定要设置在强盗所在房子的LCA的上边，则当前误伤数为该LCA为根的子树叶节点数减去强盗数，再减去原来的误伤数，即可用差值更新ans2。对于求某一子树内所有强盗的LCA，需要知道一个结论：若干个节点的LCA为其中dfs序最大与最小的两节点的LCA。因此可以开若干个set维护每个子树内强盗节点的dfs序。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<set>
#define dd(x) cout<<#x<<" = "<<x<<" "
#define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl
#define pb push_back
#define all(x) x.begin(),x.end()
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int head[maxn],cnt=0;
struct Edge
{
    int v,ne;
} edge[maxn<<1];
void add(int u,int v)
{
    edge[++cnt].ne=head[u];
    edge[cnt].v=v;
    head[u]=cnt;
}
int tot=0,fa[maxn][32],dep[maxn],sz[maxn],id[maxn],rk[maxn];//sz记录叶节点数
vector<int> tree;
void dfs(int f,int u,int deep)
{
    id[u]=++tot;
    rk[tot]=u;
    dep[u]=deep;
    sz[u]=edge[head[u]].ne==0;
    fa[u][0]=f;
    if (f==1)
        tree.pb(id[u]);
    for (int i=1; i<=22; ++i)
        fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    for (int i=head[u]; i; i=edge[i].ne)
    {
        int v=edge[i].v;
        if (v==f)
            continue;
        dfs(u,v,deep+1);
        sz[u]+=sz[v];
    }
}
int lca(int u,int v)
{
    if (dep[u]<dep[v])
        swap(u,v);
    for (int i=22,d=dep[u]-dep[v]; i>=0; --i)
        if (d&(1<<i))
            u=fa[u][i];
    if (u==v)
        return u;
    for (int i=22; i>=0; --i)
        if (fa[u][i]!=fa[v][i])
            u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    return fa[u][0];
}
set<int> st[maxn];
int gan[maxn],man[maxn];//gan为强盗数，man为误伤数
int main()
{
    freopen("gangsters.in","r",stdin);
    freopen("gangsters.out","w",stdout); 
    int n,q;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for (int i=2; i<=n; ++i)
    {
        int v;
        scanf("%d",&v);
        add(i,v);
        add(v,i);
    }
    dfs(1,1,1);
    int ans1=0,ans2=0;
    while (q--)
    {
        char op[2];
        int u;
        scanf("%s%d",op,&u);
        int num=upper_bound(all(tree),id[u])-tree.begin();//通过u的dfs序判断u在哪个子树内
        if (op[0]==‘+‘)
        {
            st[num].insert(id[u]);
            int mn=*st[num].begin(),mx=*(--st[num].end()),a=lca(rk[mx],rk[mn]);
            if (!gan[num])
                ans1++;
            gan[num]++;
            ans2+=sz[a]-gan[num]-man[num];
            man[num]=sz[a]-gan[num];
        }
        else
        {
            st[num].erase(lower_bound(all(st[num]),id[u]));
            gan[num]--;
            if (!gan[num])
            {
                ans1--;
                ans2-=man[num];
                man[num]=0;
            }
            else
            {
                int mn=*st[num].begin(),mx=*(--st[num].end()),a=lca(rk[mx],rk[mn]);             
                ans2+=sz[a]-gan[num]-man[num];
                man[num]=sz[a]-gan[num];
            }   
        }
        printf("%d %d
",ans1,ans2);
    }
    return 0;
}