图论知识记录

Posted 2021-01-10 reverymoon

二分图相关

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二分图，两个等价定义：没有奇环的图 / 可以黑白染色的图

证明：

充分性证明：如果一张图没有奇环，那么它可以黑白染色

考虑反证，如果它不能黑白染色，那么存在奇环

一定存在一条边((u, v))，使得(u, v)同时为白色

((u, v))一定在环中，如果不在，考虑(dfs)构造，那么((u, v))不可能是同一颜色

如果((u, v))所在环是一个偶环，那么取反(u)后，原图合法，不符合无法染色的条件

因此，((u, v))所在环一定是一个奇环

必要性证明：如果一张图可以黑白染色，那么它没有奇环

考虑逆否命题，如果它有奇环，那么它一定不能黑白染色

单独考虑这个奇环，设其中一点颜色为白，那么绕着奇环走一圈，会经过奇数条边回到它自身，此时它必须是黑色才能满足条件

这不可能，因此必要性成立

匹配：边形成的子集，这些边没有公共顶点

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匈牙利算法

在匹配中的边称为匹配边，其余边称为非匹配边

和匹配边相邻匹配点，否则称为非匹配点

交错路：匹配边和非匹配边彼此相间的道路

增广路：两端都为非匹配点的交错路

取反交错路后，匹配数不会变少

取反增广路后，匹配数会 + 1

增广路引理：如果从一个未匹配点出发找不到增广路，那么存在一个最大匹配，这个最大匹配不包含这个点

（某大佬说它需要一个名字

证明：

考虑构造一个匹配(M)，这个(M)中存在一个未匹配点(u)，(u)没有增广路

假设这张图的一个最大匹配为(M')

那么，如果(u)不在(M')中，那么得证

如果(u)在(M')中是匹配点，那么设(u)的匹配点为(v)

考虑(v)，如果(v)的出边中有一条连向非匹配点，那么取反这条交错路，得证

否则，因为(u)在(M)中没有增广路，因此(v)在(M)中有匹配点(u')，且(u')在(M')中也是匹配点

考虑(u')，如果(u')的出边中有非匹配点，那么存在增广路，(M)不是最大匹配

否则，考虑(u')在(M')中的匹配点(v').....

依次类推

如果没有在中间找到一条交错路

由于(u)不存在增广路，因此最终停止的节点一定和(u)属于同一部分，记做(u_1)

但是在(M')中，(u)到(u_1)形成了一条增广路，这不可能

因此，一定会在中间的过程中找到一条交错路，使得交错之后的最大匹配(M_1)不含(u)

增广路定理：如果图上不存在增广路，当且仅当匹配为最大匹配

证明：

必要性证明：如果原图为最大匹配，那么图上不存在增广路

如果有增广路，那么匹配可以+1，不符合最大匹配

充分性证明：如果图上不存在增广路，那么原图为最大匹配

对于所有的未匹配点而言，都找不到增广路，对它们依次使用增广路引理

最终，剩下的点只含匹配点，且根据增广路引理，它是最大匹配

算法

根据增广路引理，我们知道：

如果从一个点出发找不到增广路，那么删除它仍然有最大匹配

因此，我们可以考虑对每个点依次尝试寻找增广路，如果一个点找到了增广路，那么最大匹配+1

bool dfs(int o) {
    for(int i = cap[o]; i; i = nxt[i]) {
        int cur  = node[i];
        if(!vis[cur]) {
            vis[cur] = 1;
            if(!mat[cur] || dfs(mst[cur]))
            { mat[cur] = o; return 1; }
        }
    }
    return 0;
}

int Match() {
    int ret = 0;    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    ret += dfs(i);
    return ret;
}

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独立集：点形成的子集，这些点没有公共边

团：点形成的子集，这些点两两有连边

覆盖：点形成的子集，每条边至少有一个端点入选

支配集：点形成的子集，每个点至少有一条边与集合相连或者在集合中