MT90图论基础知识及相关例题

Posted 2020-10-09 青春的记忆

此讲适合参加全国联赛二试的同学

介绍图论和我们学习的一般的知识点比如函数一样，首先要介绍一些定义，只是图论里的定义相对较多，这里给出部分在竞赛中常用到的：

就像学函数的时候，学了定义和相关概念后我们要学一些性质，比如单调性等等。这里也给出几个图论的竞赛中常见的相关定理:

从这个定理马上可以得出：

注解[1]：平面图必须满足上面边和顶点的关系，在顶点给定时边的数目不能太多。但不是说满足上面式子的就一定是平面图。比如$K_{3,3}$是非平面图，但$n=6,m=9$满足上面的式子.

注解[2]：$K_5$是非平面的.

证明:$n=5,m=10$不满足$m\\le3n-6$

事实上：1930年Kuratowski 证明了以下定理：一个图是可平面的，当且仅当它不含$K_5$或者$K_{3,3}$构型的子图.

但问题是找这两种子图也不是那么容易.

一般的有以下著名定理：