强联通分量再探 By cellur925

Posted 2021-01-09 nopartyfoucaodong

我真的好喜欢图论啊。

（虽然可能理解的并不深hhh）

上一次（暑假）我们初探了强联通分量，这一次我们再探。（特别感谢pku-lyc老师的课件。有很多引用）

 

• 上次我们忘记讨论复杂度了。tarjan老爷爷的算法都很strong as flash。这次是O（N）。
• 强联通分量中任何两个点可互相到达。（显然的性质，但是需要强调识别。）
• 上一次例题遗漏的性质
  • 　　有向无环图中唯一出度为 0 的点，一定可以由任何点出发均可达
• 来丢几道例题跑。

例题1 Network

? N个学校之间有单向的网络（是有向连通图），每个学校得到一
套软件后，可以通过单向网络（有向边）向周边的学校传输。
? 问题1：初始至少需要向多少个学校发放软件，才能使得网络内
所有的学校最终都能得到软件。
? 问题2：至少需要添加几条传输线路(边)，使任意向一个学校发放
软件后，经过若干次传送，网络内所有的学校最终都能得到软件。

问题简化。

? 给定一个有向连通图，求：
? 1) 求一个最小的顶点集，使得从这个顶点集出发，可以到达全部顶点
? 2) 至少要加多少条边，才能从任何一个顶点出发，都能到达全部顶点

 

? 1. 求出所有强连通分量
? 2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有向无环图DAG。
? 3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的答案就是多少

? 在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通的，问题2的答案
就是多少
? 加边的方法：
? 为每个入度为0的点添加入边，为每个出度为0的点添加出边
? 假定有 n 个入度为0的点，m个出度为0的点，max(m,n)就是第二
个问题的解

　　* 另一个性质 

有向无环图中所有入度不为0的点，一定可以由
某个入度为0的点出发可达。

例题2 间谍网络

戳这，里面还有对缩点的一些小结。

 

本算法容易错的：缩点最后在scc_cnt上操作。

 

再探结束，日后也许会深探。（可别咕啊。）